Em cada um dos Problemas 23 a 25, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação. .
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício sobre equações diferenciais. A questão pede para a gente encontrar o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada, sem precisar resolver a equação em si. O conteúdo principal aqui envolve o wronskiano e as propriedades das equações diferenciais lineares. Vamos precisar lembrar de como calcular o wronskiano e usar uma fórmula que facilita esse cálculo sem resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções e é dado por:
Esse determinante nos ajuda a verificar se as duas soluções são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos olhar a equação diferencial dada:
(1 - x^2) y'' - 2x y' + alpha(alpha -1) y = 0
Para aplicar uma fórmula que nos ajude a encontrar o wronskiano sem resolver a equação, vamos primeiro colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0
Dividindo todos os termos por y'' - 2x1 - x^2 y' + alpha(alpha -1)1 - x^2 y = 0 , temos:
P(x) = -2x1 - x^2
Aqui, identificamos que:
Passo 4
Com a equação na forma padrão, podemos usar a fórmula de Abel para o wronskiano. A fórmula de Abel nos diz que o wronskiano W(x) = W(x0) exp( -integralx0^x P(t) , dt ) de duas soluções é dado por:
Onde é o wronskiano em um ponto inicial . Vamos calcular essa integral.