Em cada um dos Problemas 23 a 25, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação.
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+alpha(alpha-1) y=0.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício sobre equações diferenciais. A questão pede para a gente encontrar o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada, sem precisar resolver a equação em si. O conteúdo principal aqui envolve o wronskiano e as propriedades das equações diferenciais lineares. Vamos precisar lembrar de como calcular o wronskiano e usar uma fórmula que facilita esse cálculo sem resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções W(y1, y2)(x) = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y2 y1' e é dado por:
Esse determinante nos ajuda a verificar se as duas soluções são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos olhar a equação diferencial dada:
(1 - x^2) y'' - 2x y' + alpha(alpha -1) y = 0
Para aplicar uma fórmula que nos ajude a encontrar o wronskiano sem resolver a equação, vamos primeiro colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0
Dividindo todos os termos por y'' - 2x1 - x^2 y' + alpha(alpha -1)1 - x^2 y = 0 , temos:
P(x) = -2x1 - x^2
Aqui, identificamos que:

Passo 4

Com a equação na forma padrão, podemos usar a fórmula de Abel para o wronskiano. A fórmula de Abel nos diz que o wronskiano W(x) = W(x0) exp( -integralx0^x P(t) , dt ) de duas soluções é dado por:
Onde é o wronskiano em um ponto inicial . Vamos calcular essa integral.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
-integral P(t) , dt = -integral ( -2t1 - t^2 ) dt = integral 2t1 - t^2 , dt
Fazendo a substituição integral 2t1 - t^2 , dt = -integral duu = -ln|u| + C = -ln|1 - t^2| + C , temos , então:

Passo 6

Substituindo de volta na fórmula do wronskiano:
W(x) = W(x0) exp( -ln|1 - x^2| ) = W(x0) cdot |1 - x^2|^-1
Podemos absorver as constantes e simplificar, então o wronskiano fica proporcional a:
W(x) = C1 - x^2
Onde é uma constante.

Resposta

O wronskiano das duas soluções é dado por , onde é uma constante.

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