Em cada um dos problemas seguintes, determine: se o P.V.I. admite solução; se a solução, quando existir, é única; qual é o maior intervalo J contendo x_{0} no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} x, \quad y(1)=0, \quad y^{\prime}(1)=2;

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (P.V.I.)
y''-3y'+2y=\operatorname{sen} x,\qquad y(1)=0,\qquad y'(1)=2.
As perguntas que precisamos responder são:
  • O P.V.I. admite solução?
  • Se existir solução, ela é única?
  • Qual é o maior intervalo J contendo x_0=1 em que o teorema de existência e unicidade garante que existe (e é única) uma solução?
Listei exatamente os dados do enunciado: a equação diferencial de segunda ordem, a força externa \operatorname{sen} x e as condições iniciais em x_0=1. Não estou resolvendo a equação ainda; só identifiquei o que foi pedido e o que foi dado.

Passo 2

Estratégia padrão e por que: para aplicar o teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf) usamos a versão para sistemas de primeira ordem. Então vamos transformar a segunda ordem em um sistema de ordem 1. Essa transformação é mecânica e depois verificamos as hipóteses do teorema (continuidade em x e condição de Lipschitz em y).

Passo 3

Transformação para sistema de primeira ordem.
Defina as variáveis
u_1(x)=y(x),\qquad u_2(x)=y'(x).
Então
u_1'(x)=u_2(x),
e, a partir da equação original,
y''=3y'-2y+\operatorname{sen} x \quad\Rightarrow\quad u_2'(x)=3u_2(x)-2u_1(x)+\operatorname{sen} x.
Escrevendo em forma de sistema vetorial,
\mathbf{u}'(x)=f\bigl(x,\mathbf{u}(x)\bigr), \qquad \mathbf{u}=\begin{pmatrix}u_1\\[4pt]u_2\end{pmatrix},
onde
f\bigl(x,\mathbf{u}\bigr)=\begin{pmatrix}u_2\\[4pt]3u_2-2u_1+\operatorname{sen} x\end{pmatrix}.
As condições iniciais ficam
\mathbf{u}(1)=\begin{pmatrix}y(1)\\[4pt]y'(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificação das hipóteses do teorema de existência e unicidade.
O teorema de Picard–Lindelöf (forma para sistemas) diz, informalmente: se f(x,\mathbf{u}) é contínua em x e \mathbf{u} numa vizinhança de (x_0,\mathbf{u}_0) e é Lipschitz em \mathbf{u} (uniformemente em x) nessa vizinhança, então existe um intervalo em torno de x_0 em que existe uma solução única do sistema com a condição inicial dada.
Vamos checar:
  • Continuidade em x: a função \operatorname{sen} x é contínua para todo x\in\mathbb{R}. Os termos u_1,u_2 aparecem linearmente. Logo f(x,\mathbf{u}) é contínua em x e em \mathbf{u} para todo x\in\mathbb{R} e todo \mathbf{u}\in\mathbb{R}^2.
  • Lipschitz em \mathbf{u}: como f é afim em \mathbf{u} (isto é, f(x,\mathbf{u})=A\mathbf{u}+g(x) com matriz constante A e g(x)=(0,\operatorname{sen} x)^T), as derivadas parciais de f em relação a \mathbf{u} são constantes. O Jacobiano em \mathbf{u} é a matriz
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{u})=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2 & 3\end{pmatrix},
que tem entradas fixas e finitas. Então existe uma constante L (por exemplo, qualquer norma subordinada da matriz) tal que, para todos \mathbf{u},\mathbf{v},
\bigl\|f(x,\mathbf{u})-f(x,\mathbf{v})\bigr\|\le L\bigl\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\bigr\|,
uniformemente em x. Conclusão: f é globalmente Lipschitz em \mathbf{u}.
Portanto, todas as hipóteses do teorema são satisfeitas em qualquer ponto (x,\mathbf{u}) com x\in\mathbb{R}. Em particular em (1,(0,2)^T).]

Passo 5

Conclusões sobre existência local e unicidade e extensão global.
Pelo teorema, existe um intervalo aberto contendo x_0=1 onde existe uma solução única do sistema (e portanto do P.V.I. original). Como as hipóteses (continuidade em x e Lipschitz global em \mathbf{u}) valem para todo x\in\mathbb{R}, a solução única pode ser prolongada para todo o eixo real: não há singularidade de coeficientes que impeça a extensão. Em outras palavras, a solução é global em x.
Um argumento equivalente, específico para equações lineares de ordem dois com coeficientes contínuos em todo \mathbb{R}, é que o espaço de soluções da homogênea tem dimensão 2 e as soluções são definidas para todos x; a presença do termo forçante contínuo \operatorname{sen} x não cria problemas de existência global. Mas a via do sistema e do teorema de Picard é mais direto e geral.

Passo 6

Resumo prático e comentário encorajador.
  • Sim, o P.V.I. admite solução.
  • Sim, a solução é única.
  • O maior intervalo garantido pelo teorema que contém x_0=1 é todo o eixo real, isto é J=(-\infty,\infty).
Se quiser, na próxima pergunta eu te mostro como obter explicitamente a solução usando coeficientes constantes: primeiro resolvemos a homogênea y''-3y'+2y=0 (raízes da característica), depois usamos coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros para a particular; daí aplicamos as condições y(1)=0,y'(1)=2 para fixar as constantes. Posso fazer isso passo a passo também — aí a gente treina os cálculos que costumam aparecer na prova.

Resposta

Admite solução: Sim.
Solução única: Sim.
Maior intervalo J contendo x_0=1: (-\infty,\infty).

Exercícios relacionados