Em cada um dos problemas seguintes, determine: se o P.V.I. admite solução; se a solução, quando existir, é única; qual é o maior intervalo
contendo
no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Equação diferencial com condições iniciais (P.V.I.):
- O enunciado pede:
- Determinar se o P.V.I. admite solução.
- Determinar se a solução, quando existir, é única.
- Determinar qual é o maior intervalo
contendo no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.
Passo 2
Reescrever a equação numa forma padrão, explicando domínio de validade.
- Multiplicando a equação por
(válido somente quando ) obtemos a forma equivalente para :
- Essa forma padrão tem os coeficientes
e lado direito
, considerando a forma geral
- Importante: a multiplicação por
é permitida apenas quando . Portanto a equação original não está definida em (há uma singularidade aí). Logo qualquer intervalo em que aplicarmos o teorema deve evitar o ponto .
Passo 3
Enunciado do teorema de existência e unicidade (para ODEs lineares de 2ª ordem) — explicando de forma didática.
- Teorema (versão usada): Se
são funções contínuas num intervalo aberto que contém , então o problema inicial
tem uma única solução definida em todo o intervalo
.
- Interpretação simples: precisamos escrever a equação na forma com coeficiente de
igual a e verificar se os coeficientes (aqui ) são contínuos num intervalo que contenha o ponto onde foram dadas as condições iniciais. Se forem contínuos, existe uma solução e ela é única nesse intervalo.
Passo 4
Aplicar o teorema ao nosso problema — verificar continuidade dos coeficientes e concluir existência e unicidade.
- Na forma padrão válida para
temos e . Essas funções são contínuas em qualquer intervalo que não contenha . - O ponto das condições iniciais é
. Qualquer intervalo aberto que contenha e que não contenha serve para aplicar o teorema. - Logo existe solução do P.V.I. e essa solução é única em qualquer intervalo aberto que contenha
e que não contenha .
Passo 5
Escolher o maior intervalo
contendo
onde o teorema garante solução.
- O maior intervalo aberto que contém
e que não contém o ponto singular é
- No outro lado do singular, o intervalo
também é onde os coeficientes são contínuos, mas não contém , portanto não serve como intervalo que contenha . - Observação prática: não se pode usar o teorema para garantir solução atravessando
, porque a equação original não está definida em . Pode haver extensão da solução por outros métodos, mas o teorema clássico não garante isso.
Resposta
Admite solução: Sim.
A solução é única (no intervalo de validade): Sim.
Maior intervalo contendo
garantido pelo teorema:
.
A solução é única (no intervalo de validade): Sim.
Maior intervalo