Em cada um dos problemas seguintes, determine: se o P.V.I. admite solução; se a solução, quando existir, é única; qual é o maior intervalo J contendo x_{0} no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.
\frac{1}{x-4} y^{\prime \prime}+y=0, \quad y(2)=0, \quad y^{\prime}(2)=1;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Equação diferencial com condições iniciais (P.V.I.):
\frac{1}{x-4}\,y''+y=0,\qquad y(2)=0,\qquad y'(2)=1.
  • O enunciado pede:
    1. Determinar se o P.V.I. admite solução.
    2. Determinar se a solução, quando existir, é única.
    3. Determinar qual é o maior intervalo J contendo x_0=2 no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.

Passo 2

Reescrever a equação numa forma padrão, explicando domínio de validade.
  • Multiplicando a equação por x-4 (válido somente quando x\neq4) obtemos a forma equivalente para x\neq4:
y''+(x-4)\,y=0.
  • Essa forma padrão tem os coeficientes
p(x)=0,\qquad q(x)=x-4,
e lado direito r(x)=0, considerando a forma geral
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x).
  • Importante: a multiplicação por x-4 é permitida apenas quando x\neq4. Portanto a equação original não está definida em x=4 (há uma singularidade aí). Logo qualquer intervalo em que aplicarmos o teorema deve evitar o ponto x=4.

Passo 3

Enunciado do teorema de existência e unicidade (para ODEs lineares de 2ª ordem) — explicando de forma didática.
  • Teorema (versão usada): Se p(x),q(x),r(x) são funções contínuas num intervalo aberto I que contém x_0, então o problema inicial
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x),\qquad y(x_0)=y_0,\\ y'(x_0)=y_1
tem uma única solução definida em todo o intervalo I.
  • Interpretação simples: precisamos escrever a equação na forma com coeficiente de y'' igual a 1 e verificar se os coeficientes (aqui p,q,r) são contínuos num intervalo que contenha o ponto onde foram dadas as condições iniciais. Se forem contínuos, existe uma solução e ela é única nesse intervalo.

Passo 4

Aplicar o teorema ao nosso problema — verificar continuidade dos coeficientes e concluir existência e unicidade.
  • Na forma padrão válida para x\neq4 temos p(x)=0 e q(x)=x-4. Essas funções são contínuas em qualquer intervalo que não contenha x=4.
  • O ponto das condições iniciais é x_0=2. Qualquer intervalo aberto que contenha 2 e que não contenha 4 serve para aplicar o teorema.
  • Logo existe solução do P.V.I. e essa solução é única em qualquer intervalo aberto que contenha 2 e que não contenha 4.

Passo 5

Escolher o maior intervalo J contendo x_0=2 onde o teorema garante solução.
  • O maior intervalo aberto que contém 2 e que não contém o ponto singular 4 é
J = (-\infty,4).
  • No outro lado do singular, o intervalo (4,\infty) também é onde os coeficientes são contínuos, mas não contém x_0=2, portanto não serve como intervalo que contenha x_0.
  • Observação prática: não se pode usar o teorema para garantir solução atravessando x=4, porque a equação original não está definida em x=4. Pode haver extensão da solução por outros métodos, mas o teorema clássico não garante isso.

Resposta

Admite solução: Sim.
A solução é única (no intervalo de validade): Sim.
Maior intervalo J contendo x_0=2 garantido pelo teorema: (- \infty,4).

Exercícios relacionados