(Força motriz dependente da velocidade) Considere um veículo que se desloca horizontalmente ao longo de uma estrada. Três forças horizontais atuam sobre o sistema: Força de resistência aerodinâmica, proporcional ao quadrado da velocidade; Força de resistência ao rolamento, proporcional à velocidade; Força motriz do motor, também proporcional à velocidade. Suponha que v(t)=y^{\prime}(t) denote a velocidade do veículo em função do tempo.
(a) Usando a segunda lei de Newton, modele o sistema e obtenha a equação diferencial para o deslocamento y(t).
(b) Considere agora o seguinte problema de valor inicial: y(0)=0 e y^{\prime}(0)=100. Determine y(t) que correspondente ao PVI.
(c) Após um tempo suficientemente grande, é verdade que o veículo deixa de acelerar e passa a se deslocar com velocidade aproximadamente constante?
Passo 1
O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
A velocidade do veículo é v(t)=y'(t).
Três forças horizontais atuam (todas proporcionais à velocidade de alguma forma):
resistência aerodinâmica, proporcional ao quadrado da velocidade; vou escrever F_{\text{aero}}=-k\,v^{2} com k>0 (sinal negativo porque a resistência aponta contra o movimento);
resistência ao rolamento, proporcional à velocidade; vou escrever F_{\text{rol}}=-c\,v com c>0;
força motriz do motor, proporcional à velocidade; vou escrever F_{\text{motor}}=+b\,v com b\ge 0 (positiva no sentido do movimento).
A massa do veículo é m>0. A segunda lei de Newton será usada: massa vezes aceleração = soma das forças horizontais.
Perguntas:
(a) Modelar por uma equação diferencial para o deslocamento y(t).
(b) Resolver o PVI com y(0)=0 e y'(0)=100. (Aqui deixarei a solução em função dos parâmetros m,k,b,c.)
(c) Verificar se, para tempos grandes, a velocidade tende a um valor constante (e quando isso ocorre).
Faço a substituição u=e^{-(A/m)s}, de modo que ds=-(m/A)\,du/u. Os limites vão de u(0)=1 até u(t)=e^{-(A/m)t}. Após separar por frações parciais e integrar, obtém-se (detalhes algébricos já realizados):
Nesse caso a velocidade tende a uma constante positiva \dfrac{b-c}{k}: o veículo deixa de acelerar e atinge uma velocidade de regime.
Se A=0 (isto é, b=c) então a equação para v reduz a m v'=-k v^{2}. Integrando, v decai e tende a zero quando t\to\infty.
Se A<0 (isto é, b<c) o termo linear é negativo e a força motriz é insuficiente para compensar c; a velocidade também decai e tende a zero.
Portanto a resposta a (c): depende dos parâmetros. Só quando b>c o veículo atinge uma velocidade limite positiva \dfrac{b-c}{k}. Se b\le c, a velocidade não tende a uma constante positiva: tende a zero.