(Força motriz dependente da velocidade) Considere um veículo que se desloca horizontalmente ao longo de uma estrada. Três forças horizontais atuam sobre o sistema: Força de resistência aerodinâmica, proporcional ao quadrado da velocidade; Força de resistência ao rolamento, proporcional à velocidade; Força motriz do motor, também proporcional à velocidade. Suponha que v(t)=y^{\prime}(t) denote a velocidade do veículo em função do tempo.
(a) Usando a segunda lei de Newton, modele o sistema e obtenha a equação diferencial para o deslocamento y(t).
(b) Considere agora o seguinte problema de valor inicial: y(0)=0 e y^{\prime}(0)=100. Determine y(t) que correspondente ao PVI.
(c) Após um tempo suficientemente grande, é verdade que o veículo deixa de acelerar e passa a se deslocar com velocidade aproximadamente constante?

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
  • A velocidade do veículo é v(t)=y'(t).
  • Três forças horizontais atuam (todas proporcionais à velocidade de alguma forma):
    • resistência aerodinâmica, proporcional ao quadrado da velocidade; vou escrever F_{\text{aero}}=-k\,v^{2} com k>0 (sinal negativo porque a resistência aponta contra o movimento);
    • resistência ao rolamento, proporcional à velocidade; vou escrever F_{\text{rol}}=-c\,v com c>0;
    • força motriz do motor, proporcional à velocidade; vou escrever F_{\text{motor}}=+b\,v com b\ge 0 (positiva no sentido do movimento).
  • A massa do veículo é m>0. A segunda lei de Newton será usada: massa vezes aceleração = soma das forças horizontais.
  • Perguntas:
    (a) Modelar por uma equação diferencial para o deslocamento y(t).
    (b) Resolver o PVI com y(0)=0 e y'(0)=100. (Aqui deixarei a solução em função dos parâmetros m,k,b,c.)
    (c) Verificar se, para tempos grandes, a velocidade tende a um valor constante (e quando isso ocorre).

Passo 2

Montando a equação pela segunda lei de Newton.
  • Aceleração é y''(t). Pela segunda lei:
m\,y''(t)=F_{\text{motor}}+F_{\text{rol}}+F_{\text{aero}}.
  • Substituindo os modelos das forças (uso v=y'):
m\,y''(t)=b\,y'(t)-c\,y'(t)-k\bigl(y'(t)\bigr)^{2}.
  • Agrupando os termos lineares em y', defina A=b-c. Assim a equação fica
\boxed{\,m\,y''(t)=A\,y'(t)-k\bigl(y'(t)\bigr)^{2}\,}
onde A=b-c. Isso responde (a): é uma EDO de segunda ordem não linear em y.

Passo 3

Redução de ordem: trabalhar com v(t)=y'(t) para obter uma EDO de primeira ordem que é mais simples de resolver.
  • Substituindo v=y' e v'=y'' na equação:
m\,v'(t)=A\,v(t)-k\,v(t)^{2}.
  • Escrevendo de forma separável:
m\frac{dv}{dt}=v\bigl(A-kv\bigr).
  • Separamos as variáveis (assumindo v\neq0 onde necessário; a solução contínua virá cobrir o caso inicial):
\frac{dv}{v(A-kv)}=\frac{dt}{m}.

Passo 4

Resolver a integral por frações parciais e aplicar a condição inicial v(0)=v_{0}=100.
  • Faço a decomposição:
\frac{1}{v(A-kv)}=\frac{\alpha}{v}+\frac{\beta}{A-kv}.
Resolver dá \alpha=1/A e \beta=k/A. Logo
\frac{1}{v(A-kv)}=\frac{1}{A}\cdot\frac{1}{v}+\frac{k}{A}\cdot\frac{1}{A-kv}.
  • Integrando ambos os lados:
\int\frac{dv}{v(A-kv)}=\frac{1}{A}\int\left(\frac{1}{v}+\frac{k}{A-kv}\right)dv =\frac{1}{A}\ln\!\left|\frac{v}{A-kv}\right|+C.
  • Igualando à integral do lado direito:
\frac{1}{A}\ln\!\left|\frac{v}{A-kv}\right|=\frac{t}{m}+C.
  • Exponenciando e isolando v:
\frac{v}{A-kv}=C_{1}e^{(A/m)t}\quad\Rightarrow\quad v(t)=\frac{A C_{1}e^{(A/m)t}}{1+k C_{1}e^{(A/m)t}}.
  • Use a condição inicial v(0)=v_{0} para determinar C_{1}:
v_{0}=\frac{A C_{1}}{1+k C_{1}}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\frac{v_{0}}{A-k v_{0}}.
  • Substituindo C_{1} e simplificando (uma forma conveniente é dividir numerador e denominador por e^{(A/m)t}):
\boxed{\,v(t)=y'(t)=\frac{A v_{0}}{k v_{0}+(A-k v_{0})e^{-(A/m)t}}\,}
onde A=b-c e v_{0}=100. Essa expressão satisfaz v(0)=v_{0}.

Passo 5

Integrar v(t) para obter y(t) com a condição y(0)=0.
  • Escrevo v(t)=\dfrac{A v_{0}}{B+D e^{-(A/m)t}} com B=k v_{0} e D=A-k v_{0}.
  • Calculo
y(t)=\int_{0}^{t} v(s)\,ds=\int_{0}^{t}\frac{A v_{0}}{B+D e^{-(A/m)s}}\,ds.
  • Faço a substituição u=e^{-(A/m)s}, de modo que ds=-(m/A)\,du/u. Os limites vão de u(0)=1 até u(t)=e^{-(A/m)t}. Após separar por frações parciais e integrar, obtém-se (detalhes algébricos já realizados):
y(t)=\frac{A}{k}\,t+\frac{m}{k}\ln\!\left(\frac{B+D e^{-(A/m)t}}{A}\right).
  • Voltando às definições B=k v_{0} e D=A-k v_{0}, e lembrando que B+D=A, simplifica-se para a forma final
\boxed{\,y(t)=\frac{A}{k}\,t+\frac{m}{k}\ln\!\left(\frac{k v_{0}+(A-k v_{0})e^{-(A/m)t}}{A}\right)\,}
com A=b-c e v_{0}=100. Verificação rápida: em t=0 o log entra como \ln(A/A)=0, então y(0)=0 como exigido.

Passo 6

Comportamento para t\to\infty (resposta à parte (c)).
  • Observe a expressão de v(t):
v(t)=\frac{A v_{0}}{k v_{0}+(A-k v_{0})e^{-(A/m)t}}.
  • Se A=b-c>0 então e^{-(A/m)t}\to0 e
\lim_{t\to\infty}v(t)=\frac{A v_{0}}{k v_{0}}=\frac{A}{k}=\frac{b-c}{k}.
Nesse caso a velocidade tende a uma constante positiva \dfrac{b-c}{k}: o veículo deixa de acelerar e atinge uma velocidade de regime.
  • Se A=0 (isto é, b=c) então a equação para v reduz a m v'=-k v^{2}. Integrando, v decai e tende a zero quando t\to\infty.
  • Se A<0 (isto é, b<c) o termo linear é negativo e a força motriz é insuficiente para compensar c; a velocidade também decai e tende a zero.
  • Portanto a resposta a (c): depende dos parâmetros. Só quando b>c o veículo atinge uma velocidade limite positiva \dfrac{b-c}{k}. Se b\le c, a velocidade não tende a uma constante positiva: tende a zero.

Resposta

(a) \displaystyle m\,y''(t)=\bigl(b-c\bigr)\,y'(t)-k\bigl(y'(t)\bigr)^{2}.
(b) \displaystyle y(t)=\frac{b-c}{k}\,t+\frac{m}{k}\ln\!\left(\frac{k\cdot100+(b-c-k\cdot100)\,e^{-((b-c)/m)t}}{\,b-c\,}\right).
(c) Sim, se e somente se b>c. Nesse caso \displaystyle \lim_{t\to\infty}y'(t)=\frac{b-c}{k}. Se b\le c, a velocidade tende a zero.

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