Em cada um dos problemas seguintes, determine: se o P.V.I. admite solução; se a solução, quando existir, é única; qual é o maior intervalo J contendo x_{0} no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.
(x-2) y^{\prime \prime}+y=0, \quad y(2)=1, \quad y^{\prime}(2)=0;

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
(x-2)\,y''+y=0,\qquad y(2)=1,\qquad y'(2)=0,
e pede três coisas:
  • Determinar se o P.V.I. admite solução (no sentido clássico: y duas vezes diferenciável numa vizinhança de x_0=2 e satisfaz a equação).
  • Se existir solução, dizer se ela é única.
  • Qual é o maior intervalo J contendo x_0=2 no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.
Informações relevantes dadas:
  • A equação contém o fator (x-2) multiplicando y'', logo há um ponto especial em x=2.
  • As condições iniciais estão colocadas exatamente em x_0=2.

Passo 2

Vou lembrar o teorema de existência e unicidade para ODEs lineares de segunda ordem (forma padrão) de forma simples e prática.
Teorema (versão usada aqui). Se uma equação linear de segunda ordem estiver na forma
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)
e as funções p(x),q(x),r(x) forem contínuas num intervalo aberto I que contém x_0, então para quaisquer condições iniciais y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_0' existe uma única solução y classicamente duas vezes diferenciável em todo I.
O que isso significa na prática:
  • Para aplicar o teorema devemos escrever a equação no formato acima dividindo por qualquer coeficiente que multiplica y''.
  • Essa divisão só é permitida onde o coeficiente é diferente de zero; se o coeficiente anula em x_0, então p,q,r não serão bem definidas/contínuas em x_0 e o teorema não pode ser invocado.
No nosso caso, para x\neq 2 podemos dividir por (x-2) e obter
y''+\underbrace{0}_{p(x)}\,y'+\underbrace{\frac{1}{x-2}}_{q(x)}\,y=0.
Observe que q(x)=\dfrac{1}{x-2} não é contínua em x=2; tem singularidade aí. Logo o teorema de existência e unicidade NÃO é aplicável em qualquer intervalo que contenha x_0=2.

Passo 3

Mais ainda: verificar diretamente a equação no ponto x=2. Como a equação original é
(x-2)\,y''+y=0,
se tivermos uma função y duas vezes diferenciável em uma vizinhança de 2, podemos avaliar a igualdade em x=2. Substituindo x=2 obtemos
(2-2)\,y''(2)+y(2)=0 \quad\Longrightarrow\quad 0\cdot y''(2)+y(2)=0,
ou seja
y(2)=0.
Isto é uma consequência direta e inescapável da equação nos pontos em que y''(2) exista finito: qualquer solução clássica deve satisfazer y(2)=0.

Passo 4

Confrontando com as condições iniciais dadas: o enunciado pede y(2)=1. Mas da equação, para uma solução clássica temos que y(2)=0. Logo há uma contradição entre a equação (avaliada em x=2) e a condição inicial.
Portanto NÃO existe função y\in C^2 numa vizinhança de x=2 que satisfaça simultaneamente a equação e as condições iniciais y(2)=1,\;y'(2)=0.

Passo 5

Comentários sobre unicidade e sobre intervalos onde o teorema se aplica:
  • Como não existe solução clássica do P.V.I., a questão da unicidade da solução no sentido clássico não se coloca (não há solução para ser única).
  • Sobre o maior intervalo J contendo x_0=2 no qual o teorema de existência e unicidade garante solução: não existe nenhum intervalo aberto que contenha 2 onde as hipóteses do teorema sejam satisfeitas, porque ao escrever a equação na forma padrão aparece q(x)=\dfrac{1}{x-2}, que não é contínua em 2. Assim, não há nenhum intervalo aberto J com 2\in J ao qual o teorema possa ser aplicado.
Nota extra (útil para prova): se as condições iniciais estivessem em um ponto x_0\neq 2, então qualquer intervalo aberto que não contenha 2 e que contenha x_0 (por exemplo (-\infty,2) ou (2,\infty) restringidos adequadamente) satisfaria as hipóteses do teorema e garantiria existência e unicidade local da solução. Mas com x_0=2 isso falha.

Resposta

O P.V.I. não admite solução clássica (não existe solução C^2 satisfazendo as condições dadas).
Não há unicidade a discutir, pois não existe solução.
Não existe nenhum intervalo aberto J contendo x_0=2 no qual o teorema de existência e unicidade garanta solução.

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