Em cada um dos problemas seguintes, determine: se o P.V.I. admite solução; se a solução, quando existir, é única; qual é o maior intervalo J contendo x_{0} no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.
(x-1)(x+2) y^{\prime \prime}+y=\cos x, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=1;

Passo 1

O enunciado fornece o P.V.I.
(x-1)(x+2)\,y''+y=\cos x,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=1,
com x_{0}=0. Precisa-se determinar:
  • se o P.V.I. admite solução;
  • se a solução, quando existir, é única;
  • qual é o maior intervalo J contendo x_{0} no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão (normal) dividindo por (x-1)(x+2). Como
(x-1)(x+2)\big|_{x=0}=(0-1)(0+2)=-2\neq0,
essa divisão é permitida em torno de x=0. Dividindo, obtém-se
y''+\underbrace{0}_{P(x)}\,y'+\underbrace{\frac{1}{(x-1)(x+2)}}_{Q(x)}\,y=\underbrace{\frac{\cos x}{(x-1)(x+2)}}_{R(x)}.
Portanto P(x)=0, Q(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+2)} e R(x)=\dfrac{\cos x}{(x-1)(x+2)}.

Passo 3

Vou enunciar (e explicar) o teorema de existência e unicidade usado:
Seja a equação linear de segunda ordem na forma
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=R(x).
Se as funções P(x),Q(x),R(x) são contínuas em um intervalo aberto I que contém x_{0}, então existe uma solução única y(x) definida em todo I que satisfaz as condições iniciais y(x_{0})=y_{0} e y'(x_{0})=y_{0}'.
Explicando de modo simples: “contínuas” significa que não há pontos onde essas funções explodem ou estejam indefinidas; se estiverem contínuas num intervalo que contém x_{0}, o teorema garante existência e unicidade da solução naquele intervalo.

Passo 4

Analisar a continuidade de P,Q,R. Já vimos P(x)=0 é contínua em \mathbb{R}. As funções Q(x) e R(x) têm denominador (x-1)(x+2), logo são indefinidas (e não contínuas) exatamente em x=1 e em x=-2. Portanto P,Q,R são contínuas em qualquer intervalo que não contenha 1 nem -2.
Como x_{0}=0 e -2<0<1, o maior intervalo aberto que contém 0 e não contém os pontos singulares é
(-2,\,1).
Em qualquer intervalo aberto contido em (-2,1) as funções coeficientes são contínuas, então o teorema garante existência e unicidade da solução nesse intervalo inteiro (-2,1).

Passo 5

Comentário final e interpretação prática: o teorema garante existência e unicidade da solução somente enquanto não se atinge um ponto onde o coeficiente que multiplica y'' se anula (ou onde os coeficientes deixam de ser contínuos). Aqui esses pontos são x=-2 e x=1. Não é garantido pelo teorema que a solução se estenda além desses pontos; para saber se existe continuação além deles seria preciso um estudo adicional (por exemplo, analisar comportamento próximo das singularidades), mas isso vai além do pedido.

Resposta

Sim — o P.V.I. admite solução (localmente).
Sim — a solução é única no intervalo garantido pelo teorema.
J = (-2,\,1)

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