Em cada um dos problemas seguintes, determine: se o P.V.I. admite solução; se a solução, quando existir, é única; qual é o maior intervalo J contendo x_{0} no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.
x^{2} y^{\prime \prime}+y^{\prime}=e^{x}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0;

Passo 1

O enunciado dá o P.V.I.
x^{2}y''+y'=e^{x},\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0,
com x_{0}=0. Preciso responder três coisas:
  • Se o P.V.I. admite solução (isto é, existe uma função y, pelo menos de classe C^{2}, que satisfaça a equação para x em torno de 0 e as condições iniciais).
  • Se, quando existir, a solução é única.
  • Qual é o maior intervalo J contendo x_{0}=0 em que o teorema de existência e unicidade garante solução.

Passo 2

Vou recordar de forma clara o que exige o teorema clássico de existência e unicidade para equações lineares de segunda ordem. Considere a equação linear
a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=g(x).
Para aplicar o teorema de existência e unicidade no ponto x_{0} é usual pôr a equação na forma normal
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x),
obtida dividindo por a_{2}(x). Esse teorema exige que a_{2}(x_{0})\neq 0 (para poder dividir) e que as funções p,q,r sejam contínuas num intervalo aberto que contenha x_{0}. Se a_{2}(x_{0})=0 então o teorema clássico NÃO garante existência nem unicidade em um intervalo que contenha x_{0}.
No nosso caso temos a_{2}(x)=x^{2}, a_{1}(x)=1, a_{0}(x)=0, g(x)=e^{x}. Assim a_{2}(0)=0, logo a hipótese necessária para aplicar diretamente o teorema no ponto x_{0}=0 falha. Isso já indica que não podemos garantir existência/unicidade pelo teorema padrão — mas ainda precisamos verificar se existe ou não solução concreta respeitando as condições iniciais.

Passo 3

Agora faço uma verificação direta e elementar que normalmente resolve rápido este tipo de problema: se y é solução de classe C^{2} no ponto 0, então posso avaliar a equação em x=0. Substituindo x=0 em
x^{2}y''(x)+y'(x)=e^{x}
obtém-se (porque 0^{2}y''(0)=0)
y'(0)=e^{0}=1.
Portanto qualquer solução C^{2} deve satisfazer \;y'(0)=1.

Passo 4

Mas o P.V.I. impõe a condição inicial \;y'(0)=0. Temos, então, uma contradição direta entre o que a equação exige ao avaliar em x=0 e a condição inicial fornecida. Logo não existe função y de classe C^{2} (nem mesmo C^{1} suficiente para a equação fazer sentido no lado esquerdo) que satisfaça simultaneamente a equação e as condições iniciais. Conclusão: O P.V.I. NÃO admite solução.
Sobre unicidade: como NÃO existe solução, a questão da unicidade da solução do P.V.I. é irrelevante no sentido prático — não há solução única nem múltiplas soluções; simplesmente nenhuma solução satisfaz as condições. Em termos lógicos: não existe solução, logo não se fala em unicidade.

Passo 5

Sobre o maior intervalo J contendo x_{0}=0 em que o teorema de existência e unicidade garante solução: para que o teorema clássico garantisse solução em torno de 0 seria preciso que, após dividir por a_{2}(x)=x^{2}, as funções obtidas fossem contínuas num intervalo contendo 0. Mas ao dividir aparece p(x)=1/x^{2} e r(x)=e^{x}/x^{2}, que são singulares em x=0. Logo NÃO existe nenhum intervalo aberto J que contenha 0 onde as hipóteses do teorema sejam satisfeitas. Em outras palavras: não há intervalo aberto contendo 0 no qual o teorema clássico garanta existência e unicidade. (Observação: em qualquer intervalo que NÃO contenha 0 — por exemplo (0,\infty) ou (-\infty,0) — as funções são contínuas e o teorema vale nesses intervalos, mas esses intervalos não contêm x_{0}=0.)

Resposta

O P.V.I. não admite solução.
Como não há solução, a unicidade não se aplica (não existe solução única).
Não existe intervalo aberto J contendo x_{0}=0 no qual o teorema clássico de existência e unicidade garanta solução.

Exercícios relacionados