Em cada um dos problemas seguintes, determine: se o P.V.I. admite solução; se a solução, quando existir, é única; qual é o maior intervalo
contendo
no qual o teorema de existência e unicidade garante solução.
;
Passo 1
O enunciado dá o P.V.I.
com
. Preciso responder três coisas:
- Se o P.V.I. admite solução (isto é, existe uma função
, pelo menos de classe , que satisfaça a equação para em torno de e as condições iniciais). - Se, quando existir, a solução é única.
- Qual é o maior intervalo
contendo em que o teorema de existência e unicidade garante solução.
Passo 2
Vou recordar de forma clara o que exige o teorema clássico de existência e unicidade para equações lineares de segunda ordem. Considere a equação linear
Para aplicar o teorema de existência e unicidade no ponto
é usual pôr a equação na forma normal
obtida dividindo por
. Esse teorema exige que
(para poder dividir) e que as funções
sejam contínuas num intervalo aberto que contenha
. Se
então o teorema clássico NÃO garante existência nem unicidade em um intervalo que contenha
.
No nosso caso temos
,
,
,
. Assim
, logo a hipótese necessária para aplicar diretamente o teorema no ponto
falha. Isso já indica que não podemos garantir existência/unicidade pelo teorema padrão — mas ainda precisamos verificar se existe ou não solução concreta respeitando as condições iniciais.
Passo 3
Agora faço uma verificação direta e elementar que normalmente resolve rápido este tipo de problema: se
é solução de classe
no ponto
, então posso avaliar a equação em
. Substituindo
em
obtém-se (porque
)
Portanto qualquer solução
deve satisfazer
.
Passo 4
Mas o P.V.I. impõe a condição inicial
. Temos, então, uma contradição direta entre o que a equação exige ao avaliar em
e a condição inicial fornecida. Logo não existe função
de classe
(nem mesmo
suficiente para a equação fazer sentido no lado esquerdo) que satisfaça simultaneamente a equação e as condições iniciais. Conclusão: O P.V.I. NÃO admite solução.
Sobre unicidade: como NÃO existe solução, a questão da unicidade da solução do P.V.I. é irrelevante no sentido prático — não há solução única nem múltiplas soluções; simplesmente nenhuma solução satisfaz as condições. Em termos lógicos: não existe solução, logo não se fala em unicidade.
Sobre unicidade: como NÃO existe solução, a questão da unicidade da solução do P.V.I. é irrelevante no sentido prático — não há solução única nem múltiplas soluções; simplesmente nenhuma solução satisfaz as condições. Em termos lógicos: não existe solução, logo não se fala em unicidade.
Passo 5
Sobre o maior intervalo
contendo
em que o teorema de existência e unicidade garante solução: para que o teorema clássico garantisse solução em torno de
seria preciso que, após dividir por
, as funções obtidas fossem contínuas num intervalo contendo
. Mas ao dividir aparece
e
, que são singulares em
. Logo NÃO existe nenhum intervalo aberto
que contenha
onde as hipóteses do teorema sejam satisfeitas. Em outras palavras: não há intervalo aberto contendo
no qual o teorema clássico garanta existência e unicidade. (Observação: em qualquer intervalo que NÃO contenha
— por exemplo
ou
— as funções são contínuas e o teorema vale nesses intervalos, mas esses intervalos não contêm
.)
Resposta
O P.V.I. não admite solução.
Como não há solução, a unicidade não se aplica (não existe solução única).
Não existe intervalo aberto contendo
no qual o teorema clássico de existência e unicidade garanta solução.
Como não há solução, a unicidade não se aplica (não existe solução única).
Não existe intervalo aberto