Determine a soluçāo geral das equações:
3 y^{\prime \prime}-27 y^{\prime}-30 y=0.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e pede a solução geral. Especificamente:
  • A equação fornecida é 3y''-27y'-30y=0.
  • O que se pede: encontrar a solução geral y(x) da equação (ou seja, a família de todas as soluções).

Passo 2

Ideia do método (a forma que vamos usar; é a mais direta para equações com coeficientes constantes).
  • Para equações da forma a y''+b y'+c y=0 com a,b,c constantes, tenta-se uma solução do tipo exponencial y(x)=e^{r x}, onde r é um número a determinar.
  • Por que isso? Porque as derivadas de e^{r x} são múltiplos de e^{r x}: y'=r e^{r x} e y''=r^{2} e^{r x}. Substituindo tudo na equação, e^{r x} fator comum cancela, ficando uma equação algébrica para r, chamada equação característica ou polinômio característico.
  • Variáveis: r é a incógnita do polinômio característico; x é a variável independente da solução y(x).

Passo 3

Montar o polinômio característico substituindo y=e^{r x} em 3y''-27y'-30y=0.
  • Calculando derivadas em termos de r:
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^{2} e^{r x}.
  • Substituindo na equação:
3(r^{2} e^{r x}) - 27(r e^{r x}) - 30(e^{r x}) = 0.
  • Fatorando e^{r x} (que nunca é zero), obtemos o polinômio característico:
3r^{2}-27r-30=0.

Passo 4

Resolver o polinômio característico. Primeiro simplificamos dividindo por 3 (porque 3\neq0):
r^{2}-9r-10=0.
Agora aplicamos a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Para uma equação \alpha r^{2}+\beta r+\gamma=0, as raízes são
r=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}-4\alpha\gamma}}{2\alpha}.
Aqui \alpha=1, \beta=-9, \gamma=-10. Substituindo:
  • O discriminante é
\Delta=\beta^{2}-4\alpha\gamma = (-9)^{2}-4\cdot1\cdot(-10)=81+40=121.
  • Raízes:
r=\frac{-(-9)\pm\sqrt{121}}{2\cdot1}=\frac{9\pm11}{2}.

Passo 5

Calcular as duas raízes obtidas:
r_{1}=\frac{9+11}{2}=\frac{20}{2}=10, \qquad r_{2}=\frac{9-11}{2}=\frac{-2}{2}=-1.
São duas raízes reais e distintas: r_{1}=10 e r_{2}=-1.

Passo 6

Formar a solução geral a partir das raízes reais distintas.
  • Regra: se as raízes do polinômio característico são reais e distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se fornecidas).
  • Aplicando as raízes encontradas:
y(x)=C_{1}e^{10x}+C_{2}e^{-x}.
Explicação curta sobre linearidade e independência: e^{10x} e e^{-x} são soluções lineares independentes, então combinações lineares delas dão todas as soluções da equação linear homogênea de segunda ordem.

Passo 7

Verificação rápida (checar que a forma faz sentido).
  • Se substituir y=C_{1}e^{10x}+C_{2}e^{-x} na equação original, cada termo exponencial satisfaz a equação individualmente porque suas respectivas r satisfazem 3r^{2}-27r-30=0. Como a equação é linear homogênea, soma ponderada de soluções também é solução. Isso confirma a solução geral.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{10x}+C_{2}e^{-x}

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