Determine a soluçāo geral das equações:
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e pede a solução geral. Especificamente:
- A equação fornecida é
. - O que se pede: encontrar a solução geral
da equação (ou seja, a família de todas as soluções).
Passo 2
Ideia do método (a forma que vamos usar; é a mais direta para equações com coeficientes constantes).
- Para equações da forma
com constantes, tenta-se uma solução do tipo exponencial , onde é um número a determinar. - Por que isso? Porque as derivadas de
são múltiplos de : e . Substituindo tudo na equação, fator comum cancela, ficando uma equação algébrica para , chamada equação característica ou polinômio característico. - Variáveis:
é a incógnita do polinômio característico; é a variável independente da solução .
Passo 3
Montar o polinômio característico substituindo
em
.
- Calculando derivadas em termos de
:
- Substituindo na equação:
- Fatorando
(que nunca é zero), obtemos o polinômio característico:
Passo 4
Resolver o polinômio característico. Primeiro simplificamos dividindo por
(porque
):
Agora aplicamos a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. Substituindo:
- O discriminante é
- Raízes:
Passo 5
Calcular as duas raízes obtidas:
São duas raízes reais e distintas:
e
.
Passo 6
Formar a solução geral a partir das raízes reais distintas.
- Regra: se as raízes do polinômio característico são reais e distintas
e , a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se fornecidas).
- Aplicando as raízes encontradas:
Explicação curta sobre linearidade e independência:
e
são soluções lineares independentes, então combinações lineares delas dão todas as soluções da equação linear homogênea de segunda ordem.
Passo 7
Verificação rápida (checar que a forma faz sentido).
- Se substituir
na equação original, cada termo exponencial satisfaz a equação individualmente porque suas respectivas satisfazem . Como a equação é linear homogênea, soma ponderada de soluções também é solução. Isso confirma a solução geral.