Nos Exercícios de 1 a 20, calcule a integral indefinida.
integral 2 x^4-2 x+12 x^5-x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de uma função racional
integral 2x^4-2x+12x^5-x^4,dx
Note que o denominador fatoriza como 2x^5-x^4=x^4(2x-1) e o grau do numerador é menor que o do denominador, então podemos usar frações parciais.

Passo 2

Proponho a decomposição em frações parciais
2x^4-2x+1x^4(2x-1) =Ax+Bx^2+Cx^3+Dx^4+E2x-1
Multiplicando ambos os lados por x^4(2x-1) obtemos
2x^4-2x+1 =A,x^3(2x-1)+B,x^2(2x-1)+C,x(2x-1)+D(2x-1)+E,x^4

Passo 3

Expandindo e coletando termos em potências de
Da última equação , , e . Assim

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral l(-x^-4r),dx =-x^-3-3 =13x^3,
integral 22x-1,dx =2cdot12lnllvert2x-1rrvert =lnllvert2x-1rrvert
Somando e adicionando constante de integração, concluímos:

Resposta

integral 2x^4-2x+12x^5-x^4,dx =13x^3+lnllvert2x-1rrvert+C

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