Seja x=(c2 3 i 1-i) e y=(c-1+i 2 3-i), encontre:
(a) x^T y Res: x^T y=4 i
(b) y^T y Res: y^T y=4 i
(c) (x, y) Res:(x, y)=2+2 i
(d) (y, x) Res:(y, x)=2-2 i

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
x=23i1-i, y=-1+i23-i
e pede:
(a) x^Ty (produto escalar sem conjugação),
(b) y^Ty (produto escalar de y consigo mesmo, sem conjugação),
(c) (x,y) com a definição de produto interno em C^3 dado por
(u,v) ;=;sumk=1^3uk,vk,
(d) (y,x) com a mesma definição.

Passo 2

Calculando
x^Ty =2(-1+i)+(3i)cdot2+(1-i)(3-i)
Expandindo cada termo:
2(-1+i)=-2+2i, (3i)cdot2=6i, (1-i)(3-i)=3- i-3i+(-i^2)=2-4i
Somando:
x^Ty =(-2+2)+(2i+6i-4i) =0+4i =4i

Passo 3

Para
y^Ty =(-1+i)^2+2^2+(3-i)^2,
temos
(-1+i)^2=1-2i-1=-2i, 2^2=4, (3-i)^2=9-6i-1=8-6i
Somando:
y^Ty =-2i+4+8-6i =12-8i

Passo 4

Pelo produto interno em C^3,
(x,y) =sumk=1^3 xk,yk
Como y=(-1-i,,2,,3+i),
(x,y) =2(-1-i)+(3i)cdot2+(1-i)(3+i)
Expandindo:
2(-1-i)=-2-2i, (3i)cdot2=6i, (1-i)(3+i)=3+ i-3i- i^2=4-2i
Somando:
(x,y) =(-2+4)+(-2i+6i-2i) =2+2i

Passo 5

Analogamente,
(y,x) =sumk=1^3 yk,xk =(-1+i)cdot2+2(-3i)+(3-i)(1+i)
Expandindo:
(-1+i)cdot2=-2+2i, 2(-3i)=-6i, (3-i)(1+i)=3+3i-i-i^2=4+2i
Somando:
(y,x) =(-2+4)+(2i-6i+2i) =2-2i

Resposta

(a) x^Ty=4i
(b) y^Ty=12-8i
(c) (x,y)=2+2i
(d) (y,x)=2-2i

Exercícios relacionados