Em cada um dos problemas a seguir, determine phi^prime prime(x0), phi^prime prime prime(x0) e phi^(4)(x0) para o ponto dado x0, se y=phi(x0) é uma solução do problema de valor inicial dado.
(b) x^2 y^prime prime+(1+x) y^prime+3(ln x) y=0, y(1)=2 e y^prime(1)=0 Res: phi^prime prime(1)=0, phi^prime prime prime(0)=-6 e phi^(4)(0)=42.

Passo 1

A questão apresenta a EDO de segunda ordem com valor inicial em x₀=1:
Temos
x^2,phi''+(1+x),phi'+3ln(x),phi=0,
e as condições phi(1)=2 e phi'(1)=0. O conteúdo é resolução de EDOs pelo cálculo de derivadas sucessivas da equação original para encontrar phi''(1), phi'''(1) e phi^(4)(1).

Passo 2

Primeiro, isole phi'' diretamente da equação inicial. Dividindo tudo por x^2 e movendo termos:
phi'' = -1+xx^2,phi' - 3ln(x)x^2,phi

Passo 3

Agora avalie essa expressão em x=1, usando phi(1)=2 e phi'(1)=0, lembrando que ln(1)=0:
phi''(1) = -1+11^2cdot0 - 3cdot01^2cdot2 = 0

Passo 4

Para achar phi''', derive toda a equação original em relação a x. Aplicando regra do produto e derivada de ln x, obtemos:
2x,phi'' + x^2,phi''' + phi' + (1+x),phi'' + 3x,phi + 3ln(x),phi' = 0
Reagrupando:
x^2,phi''' + (3x+1),phi'' + (1+3ln x),phi' + 3x,phi = 0

Passo 5

Avalie essa equação em x=1. Como ln1=0, phi''(1)=0 e phi'(1)=0, fica:
phi'''(1) + 4cdot0 + 1cdot0 + 3cdot2 = 0 Rightarrow phi'''(1) = -6

Passo 6

Para phi^(4), derive novamente a equação de terceira ordem:
2x,phi''' + x^2,phi^(4) + 3,phi'' + (3x+1),phi''' + 3x,phi' + (1+3ln x),phi'' - 3x^2,phi + 3x,phi' = 0
Reagrupando dá
x^2,phi^(4) + (5x+1),phi''' + (4+3ln x),phi'' + 6x,phi' - 3x^2,phi = 0

Passo 7

Finalmente, avalie em x=1 usando phi(1)=2, phi'(1)=0, phi''(1)=0 e phi'''(1)=-6:
phi^(4)(1) + 6(-6) + 4cdot0 + 6cdot0 - 3cdot2 = 0 Rightarrow phi^(4)(1) = 42

Resposta

phi''(1)=0, phi'''(1)=-6 e phi^(4)(1)=42.

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