Determine a série de Taylor das funções dadas em torno do ponto x0. Determine, também, o raio de convergência da série:
(e) f(x)=sin (2 x), x0=0. Res: f(x)=sumn=0^infty (-1)^n(2 x)^2 n+1(2 n+1)! e rho=infty.

Passo 1

O exercício pede para desenvolver a função f(x)=sin(2x) em série de Taylor centrada em x0=0. O conteúdo envolvido é a série de Maclaurin (caso particular de Taylor em zero) para funções trigonométricas; vamos precisar da expansão conhecida de sin(u).

Passo 2

A série de Maclaurin para sin(u) é:
sin(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n+1(2n+1)!
Substituindo u=2x, obtemos:
sin(2x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Para determinar o raio de convergência rho, aplicamos o teste da razão a an=(-1)^n(2x)^2n+1/(2n+1)!:
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty|2x|^2n+3/(2n+3)!|2x|^2n+1/(2n+1)!=limntoinfty|2x|^2(2n+3)(2n+2)=0<1forall x
Logo, a série converge para todo x real, ou seja, rho=infty.

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n+1(2n+1)!,rho=infty

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