Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(a) f(x)=x^3-2 x.
(d) f(x)=e^-x.
(b) f(x)=x^3-2 x+1.
(e) f(x)=x^3-2 x+1.
© f(x)=|x|^3.
(e) f(x)=t g(2 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar se as funções dadas são pares ou ímpares. Isso faz parte do estudo das funções na matemática, especificamente sobre simetrias. Para resolver, vamos precisar lembrar o que define uma função par ou ímpar e aplicar isso a cada função apresentada.

Passo 2

Vamos começar com a função (a) $ f(x) = x^{3} - 2x $.
Primeiro, vamos entender o que são funções pares e ímpares:
  • Função Par: é simétrica em relação ao eixo y. Matematicamente, $ f(-x) = f(x) $.
  • Função Ímpar: é simétrica em relação à origem. Matematicamente, $ f(-x) = -f(x) $.
Agora, vamos verificar para $ f(x) $:
Calculando $ f(-x) $:
f(x) = x^3 - 2x
Agora, comparamos com $ -f(x) $:
f(-x) = f(x)
Vemos que $ f(-x) = -f(x) $, então a função é ímpar.

Passo 3

Agora, vamos para a função (b) $ f(x) = x^{3} - 2x + 1 $.
Vamos calcular $ f(-x) $:
f(x) = x^3 - 2x + 1
Vamos comparar com $ f(x) $ e $ -f(x) $:
f(-x)
f(-x) = (-x)^3 - 2(-x) + 1 = -x^3 + 2x + 1
Como $ f(-x) $ não é igual nem a $ f(x) $ nem a $ -f(x) $, a função não é nem par nem ímpar.

Passo 4

Vamos para a função © $ f(x) = |x|^{3} $.
Primeiro, lembrando que $ |x| $ sempre retorna um valor positivo ou zero.
Calculando $ f(-x) $:
f(x) = |x|^3
Como $ f(-x) = f(x) $, a função é par.

Passo 5

Agora, a função (d) $ f(x) = e^{-x} $.
Vamos calcular $ f(-x) $:
f(x) = e^-x
Vamos comparar com $ f(x) $ e $ -f(x) $:
f(-x)
f(-x) = e^-(-x) = e^x
Como $ f(-x) $ não é igual nem a $ f(x) $ nem a $ -f(x) $, a função não é nem par nem ímpar.

Passo 6

Por fim, a função (e) $ f(x) = t \cdot g(2x) $.
Para determinar se essa função é par ou ímpar, precisamos saber mais sobre a função $ g(x) $ e o valor de $ t $. Sem essas informações, não podemos afirmar a paridade de $ f(x) $.

Resposta

(a) $ f(x) = x^{3} - 2x $ é ímpar.
(b) $ f(x) = x^{3} - 2x + 1 $ não é nem par nem ímpar.
© $ f(x) = |x|^{3} $ é par.
(d) $ f(x) = e^{-x} $ não é nem par nem ímpar.
(e) $ f(x) = t \cdot g(2x) $ não é possível determinar sem informações adicionais sobre $ g(x) $ e $ t $.

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