Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(a)
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(d)
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(b)
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(e)
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©
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(e)
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(a)
(d)
(b)
(e)
©
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar se as funções dadas são pares ou ímpares. Isso faz parte do estudo das funções na matemática, especificamente sobre simetrias. Para resolver, vamos precisar lembrar o que define uma função par ou ímpar e aplicar isso a cada função apresentada.
Passo 2
Vamos começar com a função (a) $ f(x) = x^{3} - 2x $.
Primeiro, vamos entender o que são funções pares e ímpares:
- Função Par: é simétrica em relação ao eixo y. Matematicamente, $ f(-x) = f(x) $.
- Função Ímpar: é simétrica em relação à origem. Matematicamente, $ f(-x) = -f(x) $.
Agora, vamos verificar para $ f(x) $:
Calculando $ f(-x) $:
Agora, comparamos com $ -f(x) $:
Vemos que $ f(-x) = -f(x) $, então a função é ímpar.
Passo 3
Agora, vamos para a função (b) $ f(x) = x^{3} - 2x + 1 $.
Vamos calcular $ f(-x) $:
Vamos comparar com $ f(x) $ e $ -f(x) $:
Como $ f(-x) $ não é igual nem a $ f(x) $ nem a $ -f(x) $, a função não é nem par nem ímpar.
Passo 4
Vamos para a função © $ f(x) = |x|^{3} $.
Primeiro, lembrando que $ |x| $ sempre retorna um valor positivo ou zero.
Calculando $ f(-x) $:
Como $ f(-x) = f(x) $, a função é par.
Passo 5
Agora, a função (d) $ f(x) = e^{-x} $.
Vamos calcular $ f(-x) $:
Vamos comparar com $ f(x) $ e $ -f(x) $:
Como $ f(-x) $ não é igual nem a $ f(x) $ nem a $ -f(x) $, a função não é nem par nem ímpar.
Passo 6
Por fim, a função (e) $ f(x) = t \cdot g(2x) $.
Para determinar se essa função é par ou ímpar, precisamos saber mais sobre a função $ g(x) $ e o valor de $ t $. Sem essas informações, não podemos afirmar a paridade de $ f(x) $.
Resposta
(a) $ f(x) = x^{3} - 2x $ é ímpar.
(b) $ f(x) = x^{3} - 2x + 1 $ não é nem par nem ímpar.
© $ f(x) = |x|^{3} $ é par.
(d) $ f(x) = e^{-x} $ não é nem par nem ímpar.
(e) $ f(x) = t \cdot g(2x) $ não é possível determinar sem informações adicionais sobre $ g(x) $ e $ t $.