1. integral 3 d x(x+2) raizx^2+4 x+3

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida integral dfrac3,dx(x+2)raizx^2+4x+3. O conteúdo envolvido é a técnica de substituição trigonométrica após completar o quadrado no radicando.

Passo 2

Reescrevemos o radicando completando o quadrado:
x^2+4x+3 = (x+2)^2 -1

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica
x+2 = sectheta,
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raiz(x+2)^2-1 = tantheta,
e
dx = secthetatantheta,dtheta

Passo 4

Substituindo na integral, temos
integral 3,dx(x+2)raizx^2+4x+3 = integral 3,(secthetatantheta,dtheta)(sectheta)(tantheta) = integral 3,dtheta

Passo 5

Integrando em theta, obtemos
3theta + C

Passo 6

Voltando para a variável x, como sectheta = x+2, temos .

Passo 7

Portanto, a integral indefinida é .

Resposta

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