Em cada um dos problemas, de a solução geral da equação e resolva o problema de valor inicial dado.
9 y^prime prime-12 y^prime+4 y=0, com condições y(0)=0 e y^prime(0)=1

Passo 1

O problema pede pra gente resolver a EDO de segunda ordem linear homogênea de coeficientes constantes
9y'' - 12y' + 4y = 0
e depois encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Para isso, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO:
9r^2 - 12r + 4 = 0
Calculamos o discriminante De, o que indica uma raiz dupla
r = 122cdot 9 = 23

Passo 3

Quando a raiz r é dupla, a forma geral da solução é y(x) = (C1 + C2 x)e^rx. Substituindo r = tfrac23
y(x) = l(C1 + C2 xr)e^23x

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro calculamos a derivada:
y'(x) = ddxl((C1 + C2 x)e^23xr) = e^23xl(C1 tfrac23 + C2l(1 + tfrac23xr)r)
Impondo y(0)=0 temos C1 = 0. Com isso, em x=0 a derivada fica y'(0)=C2, e como queremos y'(0)=1 obtemos C2 = 1.

Resposta

Solução geral: y(x) = (C1 + C2 x)e^tfrac23x.
Solução do valor inicial: y(x) = x e^tfrac23x.

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