Em cada um dos problemas, de a solução geral da equação e resolva o problema de valor inicial dado.
, com condições
e
Passo 1
O problema pede pra gente resolver a EDO de segunda ordem linear homogênea de coeficientes constantes
e depois encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Formamos a equação característica associada à EDO:
Calculamos o discriminante
, o que indica uma raiz dupla
Passo 3
Quando a raiz
é dupla, a forma geral da solução é
. Substituindo
dá
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro calculamos a derivada:
Impondo
temos
. Com isso, em
a derivada fica
, e como queremos
obtemos
.
Resposta
Solução geral:
.
Solução do valor inicial: .
Solução do valor inicial: