Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD x^2 y d A, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaD x^2 y , dA, onde D é a metade superior de um disco com centro na origem e raio 5. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração de acordo com a região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta). As fórmulas são:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área dA em coordenadas polares é dado por:
dA = r , dr , dtheta

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como D é a metade superior do disco de raio 5:
  • O raio r varia de 0 até 5.
  • O ângulo theta varia de 0 a pi (já que é a metade superior do círculo).

Passo 4

Vamos substituir x e y na integral original usando as fórmulas de polar:
x^2 y = (r costheta)^2 cdot (r sintheta) = r^3 cos^2theta sintheta
E o elemento de área:
dA = r , dr , dtheta

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral duplaD x^2 y , dA = integral0^pi integral0^5 r^3 cos^2theta sintheta cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integral0^5 r^4 cos^2theta sintheta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos separar as integrais em r e theta:
integral0^pi cos^2theta sintheta , dtheta cdot integral0^5 r^4 , dr
Primeiro, resolvendo a integral em r:
integral0^5 r^4 , dr = [ r^55 ]0^5 = 5^55 - 0 = 5^4 = 625
Agora, resolvendo a integral em theta:
integral0^pi cos^2theta sintheta , dtheta
Fazendo a substituição u = costheta, du = -sintheta , dtheta:
-integral1^-1 u^2 , du = integral-1^1 u^2 , du = [ u^33 ]-1^1 = 13 - (-13) = 23

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais:
625 cdot 23 = 12503
Então, o valor da integral é 12503.

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