Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
, onde
é a metade superior de um disco com centro na origem e raio 5. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração de acordo com a região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. As fórmulas são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Como
é a metade superior do disco de raio 5:
- O raio
varia de 0 até 5. - O ângulo
varia de a (já que é a metade superior do círculo).
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original usando as fórmulas de polar:
E o elemento de área:
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Passo 6
Vamos separar as integrais em
e
:
Primeiro, resolvendo a integral em
:
Agora, resolvendo a integral em
:
Fazendo a substituição
,
:
Resposta
Multiplicando os resultados das duas integrais:
Então, o valor da integral é
.