Determine o volume do sólido dado.
Limitado pelo cilindro
pelos planos
,
no primeiro octante
Limitado pelo cilindro
Passo 1
Este exercício pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro
e pelos planos
,
e
. O assunto aqui é cálculo de volume via integrais triplas, projetando o corpo no plano
e usando coordenadas polares para simplificar a área projetada.
Passo 2
Para cada ponto da região no plano
, temos
,
e
. Além disso, em
o sólido vai de
até
. Então a projeção
no plano
é o quarto de círculo de raio 2.
Passo 3
A integral de volume se escreve como
Passo 4
Para calcular
, convertemos para coordenadas polares no plano
:
com
e
. Substituindo, temos
Passo 5
Agora calculamos separadamente cada integral:
Logo,