Determine o volume do sólido dado.
Limitado pelo cilindro y^2+z^2=4 e pelos planos x=2 y, x=0, z=0 no primeiro octante

Passo 1

Este exercício pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro y^2+z^2=4 e pelos planos x=0, x=2y e z=0. O assunto aqui é cálculo de volume via integrais triplas, projetando o corpo no plano yz e usando coordenadas polares para simplificar a área projetada.

Passo 2

Para cada ponto da região no plano yz, temos z>=0, y>=0 e y^2+z^2<=4. Além disso, em x o sólido vai de x=0 até x=2y. Então a projeção R no plano yz é o quarto de círculo de raio 2.

Passo 3

A integral de volume se escreve como
V=integral triplaV dV = integral duplaR l(integralx=0^2y dxr) dA = integral duplaR 2y,dA

Passo 4

Para calcular integral duplaR 2y,dA, convertemos para coordenadas polares no plano yz:
y = rcostheta, z = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
com 0<= r<=2 e 0<=theta<=tfracpi2. Substituindo, temos
V = 2integral0^pi/2integral0^2 (rcostheta),r,dr,dtheta = 2integral0^pi/2costheta,dtheta integral0^2 r^2,dr

Passo 5

Agora calculamos separadamente cada integral:
integral0^pi/2costheta,dtheta = 1,
integral0^2 r^2,dr = gl[r^33gr]0^2 = 83
Logo,
V = 2 times 1 times 83 = 163

Resposta

163

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