Em cada um dos problemas, de a solução geral da equação e resolva o problema de valor inicial dado.
3 y^prime prime+11 y^prime+10 y=0, com condições y(-3)=0 e y^prime(-3)=-1

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes
3y’’+11y’+10y=0
sujeita às condições iniciais y(-3)=0 e y’(-3)=-1.
O conteúdo aqui é solução de equações diferenciais lineares homogêneas por equação característica e aplicação de condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo y=e^{rx}:
3r^2+11r+10=0
Essa função polinomial em r nos dirá as raízes que geram a solução geral.

Passo 3

Resolvendo 3r^2+11r+10=0 pelo discriminante Δ:
Δ=11^2-4cdot3cdot10=121-120=1
Logo
r=-11pm12cdot3 implies r1=-53, r2=-2

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x)=C1e^-53x+C2e^-2x

Passo 5

Calculamos a derivada para depois impor a condição y’(-3)=-1:
y'(x)=-53C1e^-53x-2C2e^-2x

Passo 6

Aplicamos y(-3)=0:
C1e^-53(-3)+C2e^-2(-3)=0
Repare que -\frac{5}{3}(-3)=5 e -2(-3)=6, então
C1e^5+C2e^6=0 implies C1=-C2e

Passo 7

Agora aplicamos y’(-3)=-1:
-53C1e^5-2C2e^6=-1
Substituindo C_1=-C_2e:
-53(-C2e)e^5-2C2e^6=-1
Isso vira
53C2e^6-2C2e^6=-1 implies -13C2e^6=-1
Logo
C2=3e^-6, C1=-C2e=-3e^-5

Passo 8

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais.

Passo 9

Finalizamos escrevendo de forma simplificada:

Passo 10

Como -\frac{5}{3}(x+3)=-\frac{5x}{3}-5 e -2(x+3)=-2x-6, a solução fica
y(x)=3e^-2(x+3)-3e^-5(x+3)3

Resposta

y(x)=3e^-2(x+3)-3e^-5(x+3)3

Exercícios relacionados