Em cada um dos problemas, de a solução geral da equação e resolva o problema de valor inicial dado.
, com condições
e
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes
3y’’+11y’+10y=0
sujeita às condições iniciais y(-3)=0 e y’(-3)=-1.
O conteúdo aqui é solução de equações diferenciais lineares homogêneas por equação característica e aplicação de condições iniciais.
3y’’+11y’+10y=0
sujeita às condições iniciais y(-3)=0 e y’(-3)=-1.
O conteúdo aqui é solução de equações diferenciais lineares homogêneas por equação característica e aplicação de condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada substituindo y=e^{rx}:
Essa função polinomial em r nos dirá as raízes que geram a solução geral.
Passo 3
Resolvendo 3r^2+11r+10=0 pelo discriminante Δ:
Logo
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
Passo 5
Calculamos a derivada para depois impor a condição y’(-3)=-1:
Passo 6
Aplicamos y(-3)=0:
Repare que -\frac{5}{3}(-3)=5 e -2(-3)=6, então
Passo 7
Agora aplicamos y’(-3)=-1:
Substituindo C_1=-C_2e:
Isso vira
Logo
Passo 8
Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais.
Passo 9
Finalizamos escrevendo de forma simplificada:
Passo 10
Como -\frac{5}{3}(x+3)=-\frac{5x}{3}-5 e -2(x+3)=-2x-6, a solução fica