Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla . Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo integral. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os limites de integração. Temos indo de 0 a 1 e, para cada , vai de a 1. Isso significa que estamos integrando sobre uma região no plano onde .
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro e depois , vamos integrar primeiro e depois . Para isso, precisamos reescrever os limites:
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de 0 a (já que implica ).
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral com a nova ordem de integração:
Passo 5
Observamos que a integrand não depende de , então a integral interna em é simples:
Passo 6
Agora, nossa integral ficou:
integral0^1 x^2 raizx^3+1 , dx
Vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja u = x^3 + 1, então:
du = 3x^2 dx Rightarrow x^2 dx = du3
Passo 7
Agora, substituímos na integral:
integralu(0)^u(1) raizu cdot du3 = 13 integral1^2 u^1/2 , du