O cálculo da integral integral0^1 integralraizy^1 raizx^3+1 d x d y vale:
(a) 29(2 raiz2-1);
(b) 2 raiz2-1;
© 19(2 raiz2-1);
(d) 0;
(e) nenhuma das alternativas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^1 integralraizy^1 raizx^3+1 , dx , dy. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo integral. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os limites de integração. Temos y indo de 0 a 1 e, para cada y, x vai de raizy a 1. Isso significa que estamos integrando sobre uma região no plano xy onde x >= raizy.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar x primeiro e depois y, vamos integrar y primeiro e depois x. Para isso, precisamos reescrever os limites:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada x, y varia de 0 a x^2 (já que x >= raizy implica y <= x^2).

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral com a nova ordem de integração:
integral0^1 integral0^x^2 raizx^3+1 , dy , dx

Passo 5

Observamos que a integrand raizx^3 + 1 não depende de y, então a integral interna em y é simples:
integral0^x^2 raizx^3+1 , dy = raizx^3+1 cdot y gr|0^x^2 = raizx^3+1 cdot x^2

Passo 6

Agora, nossa integral ficou:
integral0^1 x^2 raizx^3+1 , dx
Vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja u = x^3 + 1, então:
du = 3x^2 dx Rightarrow x^2 dx = du3

Passo 7

Agora, substituímos na integral:
integralu(0)^u(1) raizu cdot du3 = 13 integral1^2 u^1/2 , du

Passo 8

Calculamos a integral:
13 cdot [ u^3/23/2 ]1^2 = 13 cdot ( 23 (2^3/2 - 1^3/2) ) = 29 (2raiz2 - 1)

Resposta

A integral vale 29(2 raiz2-1). A alternativa correta é a letra (a).

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