c) O supremo do conjunto 4-1n+1 rvert, n in N é 4 .

Passo 1

O enunciado pede para determinar o supremo do conjunto S = {4 - 1/(n+1) | n ∈ ℕ}, aplicando o conceito de supremum (menor cota superior) de um subconjunto de ℝ.

Passo 2

Primeiro mostramos que 4 é uma cota superior de S. Para todo n ∈ ℕ temos 1/(n+1) > 0, logo 4 - 1/(n+1) <= 4. Portanto, nenhum elemento de S ultrapassa 4, e assim 4 é uma cota superior.

Passo 3

Agora provamos que 4 é o menor cota superior, ou seja, que para qualquer varepsilon > 0 existe um elemento de S maior que 4 - varepsilon. Dado varepsilon>0, escolha n ∈ ℕ tal que
n+1 > 1varepsilon Longrightarrow 1n+1 < varepsilon

Passo 4

Então para esse n temos
4 - 1n+1 > 4 - varepsilon,
mostrando que nenhum número menor que 4 pode ser cota superior de S. Isso prova que 4 é o supremo de S.

Resposta

4

Exercícios relacionados