Exercício 0.12 Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre Limites. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar limites que resultam em formas indeterminadas, como
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece.
No numerador:
No denominador:
Então, ao substituir, temos
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo os valores. Precisamos de outro método.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada
ao calcular um limite, uma ferramenta poderosa que podemos usar é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se existirem as derivadas de cima e de baixo, podemos calcular o limite das derivadas em vez do limite original.
Ou seja:
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital ao nosso limite. Primeiro, precisamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 5
Agora, reescrevemos o limite usando as derivadas que encontramos:
Vamos simplificar um pouco essa expressão antes de substituir
.
Passo 6
Simplificando a expressão:
Numerador:
Denominador:
Então, o limite fica:
Passo 7
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por
:
Substituindo
:
Resposta
O limite é
.