Exercício 0.12 Calcule os seguintes limites:
lim x 1 1-x+ln xx^3-3 x+2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 1 1 - x + ln xx^3 - 3x + 2
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre Limites. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar limites que resultam em formas indeterminadas, como . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1 - 1 + ln(1) = 0 + 0 = 0 diretamente na expressão para ver o que acontece.
No numerador:
1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
No denominador:
Então, ao substituir, temos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo os valores. Precisamos de outro método.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) se o limite original for 00 ao calcular um limite, uma ferramenta poderosa que podemos usar é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se existirem as derivadas de cima e de baixo, podemos calcular o limite das derivadas em vez do limite original.
Ou seja:

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital ao nosso limite. Primeiro, precisamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador f'(x) = -1 + 1x :
g'(x) = 3x^2 - 3
Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, reescrevemos o limite usando as derivadas que encontramos:
lim x 1 -1 + 1x3x^2 - 3
Vamos simplificar um pouco essa expressão antes de substituir .

Passo 6

Simplificando a expressão:
Numerador:
-1 + 1x = -x + 1x
Denominador:
3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
Então, o limite fica:
lim x 1 -x + 1x3(x - 1)(x + 1)

Passo 7

Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por lim x 1 -1x cdot 3(x + 1) :
-11 cdot 3(1 + 1) = -11 cdot 3 cdot 2 = -16
Substituindo :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados