Em cada um dos Problemas 1 a 6, suponha que a função dada é estendida periodicamente para fora do intervalo original.
Encontre a série de Fourier da função estendida.
Esboce o gráfico da função para a qual a série converge por três períodos.
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}-1, & \pi \leq x<0, \\\\ 1, & 0 \leq x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período 2\pi\) definida em \([-\pi,\pi)\) por \[f(x)= \begin{cases} -1,& -\pi \le x<0,\\\ \phantom{-}1,& 0\le x<\pi. \end{cases}
Estamos, portanto, no contexto de desenvolvimento em séries de Fourier de funções periódicas em [-\pi,\pi]\]. Para resolver, vamos usar a definição dos coeficientes \(a_0, a_n e b_n e explorar a paridade de f.

Passo 2

Observando f(-x)=-f(x) para todo x em (-\pi,\pi), vemos que f é função ímpar. Numa série de Fourier isso implica que
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx = 0, \quad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx = 0
para todo n, restando apenas os coeficientes de seno b_n.

Passo 3

O coeficiente b_n é dado por
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx.
Como f(x)\sin(nx) é uma função par, podemos escrever
b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\cdot\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\Bigl[\frac{-\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Logo b_n=0 se n for par e
b_{2k-1}=\frac{2}{\pi(2k-1)}\bigl(1-(-1)^{2k-1}\bigr) =\frac{4}{\pi(2k-1)}\quad(k=1,2,3,\dots).

Passo 4

Substituindo em
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr]
obtemos apenas termos de seno de índices ímpares. Assim
f(x)\sim \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{\pi(2k-1)}\sin\!\bigl((2k-1)x\bigr) =\frac{4}{\pi}\Bigl(\sin x+\frac{1}{3}\sin3x+\frac{1}{5}\sin5x+\cdots\Bigr).

Passo 5

O gráfico da soma da série converge ponto a ponto em que f é contínua e ao valor médio dos saltos em x=0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots. Como f é uma onda quadrada que vale 1 em [0,\pi) e -1 em [-\pi,0), estendendo-se periodicamente, o esboço em três períodos (por exemplo de -3\pi a 3\pi) é uma sequência de blocos horizontais alternando entre 1 e -1, com saltos nos múltiplos de \pi, onde a série converge a 0.

Resposta

f(x) =\frac{4}{\pi}\bigl(\sin x+\tfrac{1}{3}\sin3x+\tfrac{1}{5}\sin5x+\cdots\bigr)
O gráfico resultante é uma onda quadrada de amplitude \pm1 e período 2\pi, com saltos nos múltiplos de \pi (convergindo a 0 nesses pontos).

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