Em cada um dos Problemas 1 a 6, suponha que a função dada é estendida periodicamente para fora do intervalo original.
Encontre a série de Fourier da função estendida.
Esboce o gráfico da função para a qual a série converge por três períodos. f(x)=\left\{\begin{array}{rr}-1, & \pi \leq x<0, \\\\ 1, & 0 \leq x<\pi\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período 2\pi\) definida em \([-\pi,\pi)\) por
\[f(x)= \begin{cases} -1,& -\pi \le x<0,\\\ \phantom{-}1,& 0\le x<\pi. \end{cases}
Estamos, portanto, no contexto de desenvolvimento em séries de Fourier de funções periódicas em [-\pi,\pi]\]. Para resolver, vamos usar a definição dos coeficientes \(a_0, a_n e b_n e explorar a paridade de f.
Passo 2
Observando f(-x)=-f(x) para todo x em (-\pi,\pi), vemos que f é função ímpar. Numa série de Fourier isso implica que
O gráfico da soma da série converge ponto a ponto em que f é contínua e ao valor médio dos saltos em x=0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots. Como f é uma onda quadrada que vale 1 em [0,\pi) e -1 em [-\pi,0), estendendo-se periodicamente, o esboço em três períodos (por exemplo de -3\pi a 3\pi) é uma sequência de blocos horizontais alternando entre 1 e -1, com saltos nos múltiplos de \pi, onde a série converge a 0.