Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0<x<1, \\\\ 0, & 1<x<2 ;\end{array}\right. série em cosseno, período 4

Passo 1

O enunciado nos dá a função periódica de período T=4\) obtida pela extensão par (metade de intervalo) de \[f(x)= \begin{cases} 1, & 0<x<1,\\\\ 0, & 1<x<2 \end{cases}
no intervalo [0,2]\]. O conteúdo é a expansão em série de cossenos (meia-série de Fourier em cosseno) no intervalo \([0,2]. Vamos usar as fórmulas
a_0=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\,dx, \quad a_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx,
com L=2, e então escrever
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr).

Passo 2

Calculemos primeiro a_0.
a_0=\frac{2}{2}\int_0^2 f(x)\,dx =\int_0^1 1\,dx+\int_1^2 0\,dx =1.
Logo o termo constante na série será \tfrac{a_0}{2}=\tfrac12.

Passo 3

Agora a_n para n\ge1:
a_n =\frac{2}{2}\int_0^2 f(x)\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr)\,dx =\int_0^1\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr)\,dx =\Bigl[\frac{2}{n\pi}\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr)\Bigr]_0^1 =\frac{2}{n\pi}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr).
Portanto a série de cossenos é
f(x)=\frac12+\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n\pi}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr).

Passo 4

Podemos simplificar usando o fato de que \sin(n\pi/2) vale
\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr)= \begin{cases} +1, & n=4k+1,\\\\ 0, & n=2k,\\\\ -1, & n=4k+3. \end{cases}
Então só aparecem termos ímpares, e fica
f(x) =\frac12 +\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^\infty \Bigl[\frac{\cos\bigl((4k+1)\tfrac{\pi x}{2}\bigr)}{4k+1} -\frac{\cos\bigl((4k+3)\tfrac{\pi x}{2}\bigr)}{4k+3}\Bigr].

Passo 5

Para esboçar o gráfico da extensão periódica de período 4 (três períodos, digamos de x=-6 a x=6), note que em cada período de comprimento 4 a função vale:
  • f(x)=1 em cada subintervalo de largura 1 centrado em zero, isto é, em (4m-1,4m+1),
  • f(x)=0 em (4m+1,4m+2) e em (4m-2,4m-1),
    para m\in\mathbb Z.
    Em particular, de -2 a 2 temos:
\underbrace{0}_{[-2,-1]}\;\; \underbrace{1}_{[-1,1]}\;\; \underbrace{0}_{[1,2]},
e esse padrão se repete a cada 4 unidades.

Resposta

f(x) =\frac12 +\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n\pi}\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr) \;=\; \frac12 +\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^\infty\!\Bigl[\tfrac{\cos\bigl((4k+1)\tfrac{\pi x}{2}\bigr)}{4k+1} -\tfrac{\cos\bigl((4k+3)\tfrac{\pi x}{2}\bigr)}{4k+3}\Bigr].
Esboço: pulso de altura 1 em cada intervalo (4m-1,4m+1) e zero nos intervalos intermediários, repetido de x=-6 até x=6.

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