Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0<x<1, \\\\ 0, & 1<x<2 ;\end{array}\right. série em cosseno, período 4
Passo 1
O enunciado nos dá a função periódica de período T=4\) obtida pela extensão par (metade de intervalo) de
\[f(x)= \begin{cases} 1, & 0<x<1,\\\\ 0, & 1<x<2 \end{cases}
no intervalo [0,2]\].
O conteúdo é a expansão em série de cossenos (meia-série de Fourier em cosseno) no intervalo \([0,2]. Vamos usar as fórmulas
Para esboçar o gráfico da extensão periódica de período 4 (três períodos, digamos de x=-6 a x=6), note que em cada período de comprimento 4 a função vale:
f(x)=1 em cada subintervalo de largura 1 centrado em zero, isto é, em (4m-1,4m+1),
f(x)=0 em (4m+1,4m+2) e em (4m-2,4m-1),
para m\in\mathbb Z.
Em particular, de -2 a 2 temos: