Em cada um dos problemas, use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da equação diferencial dada.
x^2 y^prime prime+x y^prime+y=ln x

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular de
x^2y'' + x y' + y = ln x
usando variação de parâmetros.
Este é um caso especial de equação de Euler–Cauchy não homogênea. Para aplicar variação de parâmetros vamos precisar de duas soluções fundamentais y1,y2 da equação homogênea e do wronskiano W.

Passo 2

Encontremos a solução geral da homogênea
x^2y'' + x y' + y = 0
Fazendo y=x^m obtemos o polinômio característico
m(m-1)+m+1 = m^2+1 = 0 Longrightarrow m = pm i
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y1(x) = cos(ln x), y2(x) = sin(ln x)

Passo 3

Colocamos a equação original em forma normal
y'' + 1xy' + 1x^2y = ln xx^2
Aqui r(x)=ln x/x^2. Calculamos o wronskiano
W = y1 & y2 y1' & y2' = cos(ln x)cdotcos(ln x)x - l(-tfracsin(ln x)xr)cdotsin(ln x) = 1x

Passo 4

Pela fórmula de variação de parâmetros, uma solução particular é
yp =-y1integral y2,r(x)W,dx + y2integral y1,r(x)W,dx
Como r(x)=ln x/x^2 e W=1/x, os integrandos ficam
I1=integral sin(ln x),ln xx,dx, I2=integral cos(ln x),ln xx,dx
Fazendo t=ln x ( dt=dx/x), temos
I1=integral tsin t,dt = -tcos t + sin t, I2=integral tcos t,dt = tsin t + cos t

Passo 5

Voltando a x,
I1 = -ln xcos(ln x) + sin(ln x), I2 = ln xsin(ln x) + cos(ln x)
Então
yp =-cos(ln x),I1 +sin(ln x),I2 =ln x(cos^2(ln x)+sin^2(ln x)) =ln x

Resposta

A solução particular obtida por variação de parâmetros é
yp(x)=ln x

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