Quais das propriedades básicas reflexidade, simetria, antissimetria, transitividade valem para cada uma das relações abaixo, definidas no conjunto dos números naturais?
(a)
se
e
são relativamente primos;
(a)
Passo 1
O enunciado define a relação
em
por
isto é,
e
são relativamente primos. Vamos testar as quatro propriedades de relações em conjuntos: reflexividade, simetria, antissimetria e transitividade.
Passo 2
(reflexividade)
Para toda deveria valer
. Mas
Para toda
que é igual a
somente se
. Logo, para
não temos
e portanto a relação não é reflexiva no conjunto todo.
Passo 3
(simetria)
Se , então
. Mas a função
é simétrica em seus argumentos, ou seja,
. Logo, de
segue
. Portanto a relação é simétrica.
Se
Passo 4
(antissimetria)
Uma relação é antissimétrica se de e
seguirem
. Aqui, porém, sempre que
temos simultaneamente
e
, mesmo quando
(por exemplo
e
). Logo, a relação não é antissimétrica.
Uma relação é antissimétrica se de
Passo 5
(transitividade)
Se e
, então
e
. Mas disso não decorre necessariamente
. Um contraexemplo clássico é
,
,
: temos
e
, mas
. Logo, a relação não é transitiva.
Se
Resposta
A única propriedade que vale é a simetria.