Quais das propriedades básicas reflexidade, simetria, antissimetria, transitividade valem para cada uma das relações abaixo, definidas no conjunto dos números naturais?
(a) n sim m se n e m são relativamente primos;

Passo 1

O enunciado define a relação sim em N por
n sim m Long<=ftrightarrow gcd(n,m)=1,
isto é, n e m são relativamente primos. Vamos testar as quatro propriedades de relações em conjuntos: reflexividade, simetria, antissimetria e transitividade.

Passo 2

(reflexividade)
Para toda ninN deveria valer nsim n. Mas
gcd(n,n)=n,
que é igual a 1 somente se n=1. Logo, para n>1 não temos gcd(n,n)=1 e portanto a relação não é reflexiva no conjunto todo.

Passo 3

(simetria)
Se nsim m, então gcd(n,m)=1. Mas a função gcd é simétrica em seus argumentos, ou seja, gcd(n,m)=gcd(m,n). Logo, de nsim m segue msim n. Portanto a relação é simétrica.

Passo 4

(antissimetria)
Uma relação é antissimétrica se de nsim m e msim n seguirem n=m. Aqui, porém, sempre que gcd(n,m)=1 temos simultaneamente nsim m e msim n, mesmo quando nneq m (por exemplo 2sim3 e 3sim2). Logo, a relação não é antissimétrica.

Passo 5

(transitividade)
Se nsim m e msim p, então gcd(n,m)=1 e gcd(m,p)=1. Mas disso não decorre necessariamente gcd(n,p)=1. Um contraexemplo clássico é
n=2, m=3, p=4: temos gcd(2,3)=1 e gcd(3,4)=1, mas gcd(2,4)=2neq1. Logo, a relação não é transitiva.

Resposta

A única propriedade que vale é a simetria.

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