Sabendo-se que y1=e^t é uma solução da equação homogênea associada a
(1-t) y^prime prime+t y^prime-y=2(t-1)^2 e^-t, 0<t<1
encontre a solução geral desta equação.

Passo 1

O enunciado dá a EDO não homogênea
(1-t),y''+t,y'-y=2(t-1)^2e^-t,0<t<1,
e informa que uma solução da homogênea associada é y1=e^t.
Queremos encontrar a solução geral usando redução de ordem para achar uma 2ª solução y2 e depois variação de parâmetros para obter uma particular yp.

Passo 2

Dividindo por 1-t e escrevendo na forma padrão
y''+t1-t,y'-11-t,y=2,(t-1)^21-te^-t
observamos que
(t-1)^21-t=-,(t-1)=1-t,
logo a equação fica
y''+p(t),y'+q(t),y=r(t), p(t)=t1-t, r(t)=2(1-t)e^-t
Para usar redução de ordem precisamos do fator
integral p(t),dt =integralt1-t,dt =integrall(11-t-1r)dt =-ln(1-t)-t
Assim
e^-integral p,dt =e^,ln(1-t)+t =(1-t)e^t

Passo 3

Pela redução de ordem, a 2ª solução é
y2 =y1integrale^-integral p,dty1^2,dt =e^tintegral(1-t)e^te^2t,dt =e^tintegral(1-t)e^-t,dt
Calculemos
integral(1-t)e^-t,dt =integral e^-t,dt-integral t,e^-t,dt =-e^-t-l(-t,e^-t-e^-tr) =t,e^-t
Logo
y2=e^tl(t,e^-tr)=t

Passo 4

Usando variação de parâmetros com y1=e^t e y2=t:
W =y1y2'-y1'y2 =e^tcdot1 - e^tcdot t =e^t(1-t)
Calculamos
u1'=-y2,rW =-tcdot2(1-t)e^-te^t(1-t) =-2t,e^-2t,
u1 =integral -2t,e^-2t,dt =(t+tfrac12)e^-2t
u2'=y1,rW =e^tcdot2(1-t)e^-te^t(1-t) =2e^-t,
u2 =integral2e^-t,dt =-2e^-t
Então
yp =u1y1+u2y2 =(t+tfrac12)e^-2t,e^t +(-2e^-t),t =(tfrac12-t)e^-t

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1e^t+C2,t+(tfrac12-t)e^-t

Exercícios relacionados