Calcule o limite, se existir

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0l(1xraiz1+x - 1xr)
Isso é um caso de forma indeterminada tfrac10-tfrac10, logo vamos usar manipulações algébricas, em especial a racionalização pelo conjugado, para eliminar a raiz e depois aplicar o limite.

Passo 2

Reescrevemos a diferença sobre um mesmo denominador:
1xraiz1+x - 1x = 1 - raiz1+xxraiz1+x

Passo 3

Para eliminar a raiz no numerador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1 + raiz1+x:
1 - raiz1+xxraiz1+x cdot 1 + raiz1+x1 + raiz1+x = 1 - (1+x)xraiz1+x,l(1+raiz1+xr) = -xxraiz1+x,l(1+raiz1+xr)

Passo 4

Cancelamos x e obtemos a expressão simplificada:
-1raiz1+x,l(1+raiz1+xr)
Agora basta fazer xto0:
limxto0l(-1raiz1+x,(1+raiz1+x)r) = -11cdot(1+1) = -12

Resposta

-tfrac12

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