Para cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir, encontre a solução e represente graficamente usando algum software computacional:
y^prime(x)=y+2 ; y(0)=1,

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial:
y^prime(x) = y + 2 com y(0) = 1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, precisamos usar métodos de resolução de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial linear:
y^prime(x) - y = 2
Nesta forma, podemos identificar o coeficiente de $ y $ como $ P(x) = -1 $ e o termo constante como $ Q(x) = 2 $.

Passo 3

Em seguida, calculamos o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)

Passo 4

Multiplicamos a equação diferencial original por $ \mu(x) $:
mu(x)
Isso transforma a equação à esquerda em uma derivada do produto:
e^-x y^prime(x) - e^-x y = 2 e^-x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
A integral do lado esquerdo simplifica para $ e^{-x} y $, e a integral do lado direito é:
integral ddx ( e^-x y ) dx = integral 2 e^-x dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para $ y $:
y
Multiplicamos ambos os lados por $ e^{x} $:
e^-x y = -2 e^-x + C

Passo 7

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ C $:
y(0) = 1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -2 + 3 e^x
Para representar graficamente, você pode usar softwares como o GeoGebra ou Desmos para plotar a função $ y(x) = -2 + 3 e^{x} $.

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