Para cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir, encontre a solução e represente graficamente usando algum software computacional:
,
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, precisamos usar métodos de resolução de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial linear:
Nesta forma, podemos identificar o coeficiente de $ y $ como $ P(x) = -1 $ e o termo constante como $ Q(x) = 2 $.
Passo 3
Em seguida, calculamos o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos a equação diferencial original por $ \mu(x) $:
Isso transforma a equação à esquerda em uma derivada do produto:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo simplifica para $ e^{-x} y $, e a integral do lado direito é:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para $ y $:
Multiplicamos ambos os lados por $ e^{x} $:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ C $:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Para representar graficamente, você pode usar softwares como o GeoGebra ou Desmos para plotar a função $ y(x) = -2 + 3 e^{x} $.