Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para raiz[5]32,2.

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente calcular uma aproximação de raiz[5]32,2 usando diferenciais. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente sobre como usar a derivada para fazer aproximações lineares de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que representa a quinta raiz:
f(x) = raiz[5]x = x^1/5
Essa função nos ajuda a pensar em como pequenas mudanças em x afetam o valor de f(x).

Passo 3

Escolhemos um valor próximo a 32,2 onde calcular a quinta raiz seja fácil. Sabemos que:
32 = 2^5,
então vamos usar a = 32 como nosso ponto de aproximação.

Passo 4

Calculamos o valor da função no ponto a = 32:
f(32) = raiz[5]32 = 2
Isso nos dá a base para a nossa aproximação.

Passo 5

Agora, precisamos da derivada da função para entender como ela muda perto de a = 32. A derivada de f(x) é:
f'(x) = ddxx^1/5 = 15x^-4/5 = 15 cdot 1x^4/5
A derivada nos indica a taxa de variação da função em relação a x.

Passo 6

Avaliamos a derivada no ponto a = 32:
f'(32) = 15 cdot 132^4/5
Sabemos que 32^1/5 = 2, então:
32^4/5 = (32^1/5)^4 = 2^4 = 16,
portanto:
f'(32) = 15 cdot 116 = 180

Passo 7

Usamos a fórmula da aproximação linear (ou diferencial) para estimar f(32,2):
f(32,2) approx f(32) + f'(32) cdot (32,2 - 32)
Substituindo os valores:
f(32,2) approx 2 + 180 cdot 0,2

Passo 8

Calculamos o termo adicional:
0,280 = 0,0025,
assim:
f(32,2) approx 2 + 0,0025 = 2,0025

Resposta

Uma aproximação de raiz[5]32,2 é 2,0025.

Exercícios relacionados