Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para
.
Passo 1
Então, o exercício pede para a gente calcular uma aproximação de
usando diferenciais. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente sobre como usar a derivada para fazer aproximações lineares de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que representa a quinta raiz:
Essa função nos ajuda a pensar em como pequenas mudanças em
afetam o valor de
.
Passo 3
Escolhemos um valor próximo a 32,2 onde calcular a quinta raiz seja fácil. Sabemos que:
então vamos usar
como nosso ponto de aproximação.
Passo 4
Calculamos o valor da função no ponto
:
Isso nos dá a base para a nossa aproximação.
Passo 5
Agora, precisamos da derivada da função para entender como ela muda perto de
. A derivada de
é:
A derivada nos indica a taxa de variação da função em relação a
.
Passo 6
Avaliamos a derivada no ponto
:
Sabemos que
, então:
portanto:
Passo 7
Usamos a fórmula da aproximação linear (ou diferencial) para estimar
:
Substituindo os valores:
Passo 8
Calculamos o termo adicional:
assim:
Resposta
Uma aproximação de
é
.