Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
C, (0,0) circunferência de centro e raio 1 , percorrida uma vez no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral integralC(xx^2+y^2) dy - (yx^2+y^2) dx ao longo de uma circunferência de raio 1 centrada na origem, percorrida no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e propriedades de campos vetoriais conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral está fazendo. A expressão xx^2+y^2 multiplicada por dy e -yx^2+y^2 multiplicada por dx formam um campo vetorial. Vamos reescrever isso como:
integralC ( xx^2+y^2 , dy - yx^2+y^2 , dx )
Isso é equivalente a integrar o campo vetorial F = ( -yx^2+y^2, xx^2+y^2 ) ao longo do caminho C.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial cuja derivada é o campo. Para isso, as derivadas parciais devem satisfazer certas condições (teorema de Schwarz). Calculando as derivadas parciais, percebemos que elas não se igualam, então o campo não é conservativo.

Passo 4

Como o campo não é conservativo, vamos usar o teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. O teorema de Green diz:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
No nosso caso, P = -yx^2+y^2 e Q = xx^2+y^2.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = (x^2+y^2)(1) - x(2x)(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2
partial Ppartial y = (x^2+y^2)(-1) - (-y)(2y)(x^2+y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2
Então, partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 = 0.

Passo 6

Como a diferença partial Qpartial x - partial Ppartial y é zero, a integral dupla também será zero. Portanto, pelo teorema de Green:
ointC ( -yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy ) = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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