Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
,
circunferência de centro
e raio 1 , percorrida uma vez no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
ao longo de uma circunferência de raio 1 centrada na origem, percorrida no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e propriedades de campos vetoriais conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral está fazendo. A expressão
multiplicada por
e
multiplicada por
formam um campo vetorial. Vamos reescrever isso como:
Isso é equivalente a integrar o campo vetorial
ao longo do caminho
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial cuja derivada é o campo. Para isso, as derivadas parciais devem satisfazer certas condições (teorema de Schwarz). Calculando as derivadas parciais, percebemos que elas não se igualam, então o campo não é conservativo.
Passo 4
Como o campo não é conservativo, vamos usar o teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. O teorema de Green diz:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então,
.
Passo 6
Como a diferença
é zero, a integral dupla também será zero. Portanto, pelo teorema de Green:
Resposta
O valor da integral é
.