Para cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir, encontre a solução e represente graficamente usando algum software computacional:
y^prime(x)=y-2 ; y(0)=1,

Passo 1

Resumo do enunciado: resolver o problema de valor inicial y'(x)=y-2 com y(0)=1. O conteúdo é EDO de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrever a equação na forma linear y'-y=-2. O fator integrante é
mu(x)=e^-integral1,dx=e^-x
Multiplicando ambos os lados por mu(x) obtemos
e^-xy'-e^-xy=-2e^-x

Passo 3

Reconhecer que o lado esquerdo é a derivada de e^-xy:
ddx(e^-xy)=-2e^-x
Integrando em x :
e^-xy=integral -2e^-x,dx=2e^-x+C

Passo 4

Isolar y(x) multiplicando por e^x:
y(x)=2+Ce^x

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(0)=1:
y(0)=2+Ce^0=2+C=1implies C=-1
Logo,
y(x)=2-e^x

Passo 6

Para representar graficamente, podemos usar Python com matplotlib. Exemplo de código:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 5, 100)
y = 2 - np.exp(x)

plt.plot(x, y)
plt.title("Solução de y'=y-2, y(0)=1")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y(x)")
plt.grid(True)
plt.show()

Resposta

y(x)=2-e^x

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