Resolva cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial dada por:
E a condição inicial é $ y(\pi) = 0 $. Isso significa que quando $ x = \pi $, o valor de $ y $ é 0. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente de equações diferenciais, para encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz essa equação e essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Temos:
Queremos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para poder integrar ambos os lados. Para isso, vamos dividir ambos os lados por $ \sqrt{y + 1} $:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve $ y $ e a do lado direito envolve $ x $.
Passo 4
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Onde $ C_1 $ é a constante de integração.
Agora, a integral do lado direito:
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.
Passo 5
Juntando as duas partes, temos:
Podemos simplificar isso agrupando as constantes de integração. Vamos chamar $ C = C_2 - C_1 $:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ \sqrt{y + 1} $:
Para simplificar, podemos apenas chamar $ \frac{C}{2} $ de uma nova constante, mas como $ C $ ainda é uma constante arbitrária, podemos mantê-la assim.
Passo 7
Vamos agora resolver para $ y $. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Expandindo o lado direito:
Isso simplifica para:
Passo 8
Agora, isolamos $ y $:
Mas isso deixa a expressão um pouco complicada. Vamos voltar para a etapa anterior e simplificar de outra forma.
Passo 9
Voltando ao passo anterior:
Em vez de expandir, vamos deixar dessa forma para facilitar o uso da condição inicial.
Passo 10
Vamos aplicar a condição inicial $ y(\pi) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = \pi $ e $ y = 0 $ na equação:
Sabemos que $ \sin \pi = 0 $, então:
Passo 11
Resolvendo para $ C $:
Temos duas soluções possíveis para $ C $, mas vamos escolher uma que faça sentido no contexto. Vamos usar $ C = 2 $.
Passo 12
Agora, substituímos $ C = 2 $ na equação geral:
Elevando ao quadrado:
Expandindo:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: