Resolva cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir,
ld yd x=2 raizy+1 cos x ; y(pi)=0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial dada por:
dydx = 2 raizy + 1 cos x
E a condição inicial é $ y(\pi) = 0 $. Isso significa que quando $ x = \pi $, o valor de $ y $ é 0. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente de equações diferenciais, para encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz essa equação e essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Temos:
dydx = 2 raizy + 1 cos x
Queremos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para poder integrar ambos os lados. Para isso, vamos dividir ambos os lados por $ \sqrt{y + 1} $:
y

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve $ y $ e a do lado direito envolve $ x $.
y

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
integral dyraizy + 1 = 2 raizy + 1 + C1
Onde $ C_1 $ é a constante de integração.
Agora, a integral do lado direito:
C1
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.

Passo 5

Juntando as duas partes, temos:
2 raizy + 1 + C1 = 2 sin x + C2
Podemos simplificar isso agrupando as constantes de integração. Vamos chamar $ C = C_2 - C_1 $:
C = C2 - C1

Passo 6

Agora, vamos isolar $ \sqrt{y + 1} $:
raizy + 1
Para simplificar, podemos apenas chamar $ \frac{C}{2} $ de uma nova constante, mas como $ C $ ainda é uma constante arbitrária, podemos mantê-la assim.

Passo 7

Vamos agora resolver para $ y $. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
y
Expandindo o lado direito:
y + 1 = (sin x + C2)^2
Isso simplifica para:
y + 1 = sin^2 x + sin x cdot C2 cdot 2 + (C2)^2

Passo 8

Agora, isolamos $ y $:
y
Mas isso deixa a expressão um pouco complicada. Vamos voltar para a etapa anterior e simplificar de outra forma.

Passo 9

Voltando ao passo anterior:
y + 1 = (sin x + C2)^2
Em vez de expandir, vamos deixar dessa forma para facilitar o uso da condição inicial.

Passo 10

Vamos aplicar a condição inicial $ y(\pi) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = \pi $ e $ y = 0 $ na equação:
y(pi) = 0
Sabemos que $ \sin \pi = 0 $, então:
C

Passo 11

Resolvendo para $ C $:
C
Temos duas soluções possíveis para $ C $, mas vamos escolher uma que faça sentido no contexto. Vamos usar $ C = 2 $.

Passo 12

Agora, substituímos $ C = 2 $ na equação geral:
C = 2
Elevando ao quadrado:
raizy + 1 = sin x + 22 = sin x + 1
Expandindo:
y + 1 = (sin x + 1)^2
Subtraindo 1 de ambos os lados:
y + 1 = sin^2 x + 2 sin x + 1

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(x) = sin^2 x + 2 sin x

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