Para cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir, encontre a solução e represente graficamente usando algum software computacional:
,
Passo 1
Resumo do problema: temos a equação diferencial de primeira ordem linear com condição inicial
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias (EDO) lineares de primeira ordem. Para resolver precisamos identificar a forma padrão e aplicar o método de solução (homogênea + particular ou fator integrante).
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias (EDO) lineares de primeira ordem. Para resolver precisamos identificar a forma padrão e aplicar o método de solução (homogênea + particular ou fator integrante).
Passo 2
Identificação do tipo e forma padrão: a EDO é
Podemos reescrever em forma padrão como
Passo 3
Solução geral da equação homogênea e particular: primeiro resolvemos a homogênea
que tem solução
Para achar uma solução particular constante, suponha
. Então
Logo a solução geral é
Passo 4
Aplicação da condição inicial: temos
. Substituindo em
:
Portanto
Passo 5
Representação gráfica (exemplo em Python):
- Instale o Matplotlib:
pip install matplotlib
. - Código de plotagem:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0, 2, 200)
y = -np.exp(2*x) + 2
plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.title('Solução de y\' = 2y - 4, y(0)=1')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y(x)')
plt.grid(True)
plt.show()
Isso gera o gráfico da solução.
Passo 6
Observação final: a solução é uma exponencial decrescente/ crescente (dependendo de x) deslocada e satisfaz a condição inicial.