Para cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir, encontre a solução e represente graficamente usando algum software computacional:
y^prime(x)=2 y-4 ; y(0)=1,

Passo 1

Resumo do problema: temos a equação diferencial de primeira ordem linear com condição inicial
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias (EDO) lineares de primeira ordem. Para resolver precisamos identificar a forma padrão e aplicar o método de solução (homogênea + particular ou fator integrante).

Passo 2

Identificação do tipo e forma padrão: a EDO é
y'(x)=2y(x)-4
Podemos reescrever em forma padrão como
y'(x)-2y(x)=-4

Passo 3

Solução geral da equação homogênea e particular: primeiro resolvemos a homogênea
yh'(x)-2yh(x)=0
que tem solução
yh(x)=Ce^2x
Para achar uma solução particular constante, suponha yp=A. Então
0-2A=-4implies A=2
Logo a solução geral é
y(x)=Ce^2x+2

Passo 4

Aplicação da condição inicial: temos y(0)=1. Substituindo em y(x):
y(0)=C e^0+2=C+2=1implies C=-1
Portanto
y(x)=-e^2x+2

Passo 5

Representação gráfica (exemplo em Python):
  1. Instale o Matplotlib: pip install matplotlib.
  2. Código de plotagem:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0, 2, 200)
y = -np.exp(2*x) + 2
plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.title('Solução de y\' = 2y - 4, y(0)=1')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y(x)')
plt.grid(True)
plt.show()
Isso gera o gráfico da solução.

Passo 6

Observação final: a solução é uma exponencial decrescente/ crescente (dependendo de x) deslocada e satisfaz a condição inicial.

Resposta

y(x)=-e^2x+2

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