Para cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir, encontre a solução e represente graficamente usando algum software computacional:
y^prime(x)=2 y+4 ; y(0)=1,

Passo 1

A equação é um problema de valor inicial de primeira ordem: temos y'(x)=2y+4 com y(0)=1. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão y'-2y=4, identificamos P(x)=-2 e Q(x)=4. O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^-2x
Multiplicando a equação por e^-2x obtemos
e^-2xy'-2e^-2xy=4e^-2x
que é
ddxl(e^-2xyr)=4e^-2x
Integrando ambos os lados,
e^-2xy=integral 4e^-2x,dx=-2e^-2x+C

Passo 3

Isolando y y=-2+Ce^2x. Agora usamos a condição inicial y(0)=1: substituindo x=0 e y=1 temos 1=-2+C, logo C=3.

Passo 4

A solução explícita fica
y(x)=3e^2x-2
Para visualizar em Python, por exemplo, você pode usar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-1,1,200)
y = 3*np.exp(2*x)-2
plt.plot(x,y)
plt.scatter(0,1,color='red')
plt.axhline(0,color='black'); plt.axvline(0,color='black')
plt.xlabel('x'); plt.ylabel('y')
plt.title('Solução do PVI y\'=2y+4, y(0)=1')
plt.show()

Resposta

A solução do problema de valor inicial é y(x)=3e^2x-2.

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