Para cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir, encontre a solução e represente graficamente usando algum software computacional:
,
Passo 1
A equação é um problema de valor inicial de primeira ordem: temos
com
. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Reescrevendo na forma padrão
, identificamos
e
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
que é
Integrando ambos os lados,
Passo 3
Isolando
dá
. Agora usamos a condição inicial
: substituindo
e
temos
, logo
.
Passo 4
A solução explícita fica
Para visualizar em Python, por exemplo, você pode usar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-1,1,200)
y = 3*np.exp(2*x)-2
plt.plot(x,y)
plt.scatter(0,1,color='red')
plt.axhline(0,color='black'); plt.axvline(0,color='black')
plt.xlabel('x'); plt.ylabel('y')
plt.title('Solução do PVI y\'=2y+4, y(0)=1')
plt.show()
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
.