Fatore os seguintes polinômios:
p(x)=x^4-3 x^3+x^2+3 x-2

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio p(x)=x^4-3x^3+x^2+3x-2. O conteúdo é fatoração de polinômios na forma de produtos de polinômios de grau menor, e vamos precisar usar o Teorema das Raízes Racionais, divisão sintética e fatoração por agrupamento.

Passo 2

Segundo o Teorema das Raízes Racionais, qualquer raiz racional de p(x) é da forma pmdc, onde d divide o termo constante -2 e c divide o coeficiente líder 1. Portanto, os candidatos são pm1,pm2.

Passo 3

Testando x=1:
p(1)=1^4-3cdot1^3+1^2+3cdot1-2=1-3+1+3-2=0

Passo 4

Como x=1 é raiz, temos o fator (x-1). Vamos dividir p(x) por (x-1) usando divisão sintética com 1:
Coeficientes de p(x): 1 -3 1 3 -2
Aplicando divisão sintética:
r|rrrrr 1 & 1 & -3 & 1 & 3 & -2 & & 1 & -2 & -1 & 2 hline & 1 & -2 & -1 & 2 & 0
O quociente é o polinômio de grau 3: x^3-2x^2-x+2.

Passo 5

Agora fatoramos x^3-2x^2-x+2 por agrupamento:
Agrupando:
(x^3-2x^2)+(-x+2)=x^2(x-2)-1(x-2)=(x-2)(x^2-1)
E reconhecemos x^2-1=(x-1)(x+1).
Portanto o polinômio original se escreve como produto:
p(x)=(x-1)cdot(x-2)cdot(x-1)cdot(x+1)
Agrupando os fatores iguais, chegamos à fatoração completa:
p(x)=(x-1)^2(x-2)(x+1)

Resposta

(x-1)^2(x-2)(x+1)

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