Inverta a ordem de integração.
integral0^1[integral2 x^x+1 f(x, y) d y] d x.

Passo 1

A gente tem a integral original integral0^1l[integral2x^x+1f(x,y),dyr]dx. Esse é um problema de inverter a ordem de integração: precisamos entender a região R no plano (x,y) onde se integra e depois trocar a ordem de integração.

Passo 2

A região R é dada por 0<= x<=1 e 2x<= y<= x+1. Geometricamente, os limites em y são as retas y=2x e y=x+1, e verticalmente x vai de 0 a 1.

Passo 3

Para achar o intervalo total de y, vemos que o valor mínimo de y em R é em x=0, isto é ymin=0, e o máximo em x=1, isto é ymax=2. Logo y percorre [0,2].

Passo 4

Para um dado y em [0,2], as condições 2x<= y<= x+1 viram
x<= y2, x>= y-1,
além de 0<= x<=1. Portanto
xin [max(0,y-1),,min(1,tfrac y2)]

Passo 5

Como y-1<0 quando 0<= y<1 e y-1>=0 para 1<= y<=2, além de y/2<=1 em todo [0,2], fica dividido em dois casos:
  • Se 0<= y<=1, então xin[0,tfrac y2]
  • Se 1<= y<=2, então xin[y-1,tfrac y2]

Passo 6

Pronto! Agora escrevemos a integral trocando a ordem: primeiro integramos em x, depois em y, em dois pedaços.

Resposta

$$\n\int_{0}{1}\int_{0}{y/2} f(x,y),dx,dy \ + \ \int_{1}{2}\int_{y-1}{y/2} f(x,y),dx,dy
$$

Exercícios relacionados