Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
A gente tem a integral original
. Esse é um problema de inverter a ordem de integração: precisamos entender a região
no plano
onde se integra e depois trocar a ordem de integração.
Passo 2
A região
é dada por
e
. Geometricamente, os limites em
são as retas
e
, e verticalmente
vai de 0 a 1.
Passo 3
Para achar o intervalo total de
, vemos que o valor mínimo de
em
é em
, isto é
, e o máximo em
, isto é
. Logo
percorre
.
Passo 4
Para um dado
em
, as condições
viram
além de
. Portanto
Passo 5
Como
quando
e
para
, além de
em todo
, fica dividido em dois casos:
- Se
, então - Se
, então
Passo 6
Pronto! Agora escrevemos a integral trocando a ordem: primeiro integramos em
, depois em
, em dois pedaços.
Resposta
$$\n\int_{0}{1}\int_{0}{y/2} f(x,y),dx,dy \ + \ \int_{1}{2}\int_{y-1}{y/2} f(x,y),dx,dy
$$