Para cada um dos PVIs abaixo:

Esboce membros da família das curvas integrais dessas EDOs sem resolvê-las.

Passo 1

O enunciado dá o PVI dydt=-1, y(0)=2. Estamos em conteúdo de campo de direções e curvas integrais, e vamos precisar usar a ideia de que a inclinação das tangentes em cada ponto é dada pela função f(t,y)=dydt.

Passo 2

O campo de direções é definido por f(t,y)=-1, que não depende nem de t nem de y. Isso significa que, em todo ponto do plano (t,y), o segmento de reta que indica a tangente tem sempre declive constante igual a -1.

Passo 3

Para esboçar as curvas integrais, basta traçar as curvas cujas tangentes em cada ponto têm declive -1. Essas curvas são retas paralelas de inclinação -1. Implicitamente elas podem ser escritas como
y + t = C,
onde C é uma constante que identifica cada reta da família.

Passo 4

Para achar a curva que satisfaz y(0)=2, substituímos t=0 e y=2 na equação geral
2 + 0 = C implies C=2

Passo 5

Logo a curva integral particular é a reta
y + t = 2,
ou, reescrevendo,
y = -t + 2

Resposta

A família de curvas integrais é dada pelas retas de inclinação -1, y=-t+C, e a solução particular do PVI é a reta y=-t+2.

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