Seja y=y(t, y0) a solução correspondente à condição inicial y(0)=y0. Para quais valores de y0 tem-se lim t infty y(t, y0) finito?
y^prime=alpha y-beta y^2, onde alpha e beta são constantes positivas.

Passo 1

O enunciado dá a equação logística y'=alpha y-beta y^2, com alpha,beta>0, e pergunta para quais condições iniciais y(0)=y0 o limite limttoinftyy(t,y0) é finito.

Passo 2

Separamos variáveis e integramos:
integral dyy(alpha-beta y) = integral dt

Passo 3

Fazendo frações parciais e integrando obtemos
ln|y| - ln|alpha-beta y| = alpha t + C

Passo 4

Isolando y fica a forma padrão da solução logística:
y(t) = alpha/beta1 + K e^-alpha t, K = alphabeta - y0y0

Passo 5

Analisamos agora cada caso de y0:
Para y0>0, temos K>0, o denominador nunca zera e
limttoinftyy(t) = alphabeta,

Passo 6

Para y0=0, a solução trivial é y(t)=0, então
limttoinftyy(t)=0,

Passo 7

Para y0<0, resulta K<0 com |K|>1, o denominador zera em tempo finito e y(t)to-infty antes de ttoinfty.

Resposta

O limite é finito exatamente para todos os y0>=0.

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