Para cada uma das quantidades listadas abaixo, indique as dimensões usando os sistemas MLtT e FLtT ( \mathrm{M}= massa, \mathrm{L}= comprimento, \mathrm{t}= tempo, \mathrm{T}= temperatura ). Também forneça as unidades no sistema SI e no sistema inglês:
difusividade mássica

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: indicar as dimensões da difusividade mássica (também chamada de coeficiente de difusão de massa, geralmente denotada por D) nos sistemas \mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T} e \mathrm{F}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T}, e fornecer as unidades no SI e no sistema inglês. Informação dada: só a grandeza “difusividade mássica” (nenhum número). Vou trabalhar por análise de unidades a partir da lei física que define D.

Passo 2

Entender o que é difusividade mássica e a equação que a envolve (aula curta).
  • A difusividade mássica aparece na Lei de Fick (primeira lei), que relaciona o fluxo de massa por difusão com o gradiente de concentração:
\mathbf{J} = -D\,\nabla c.
Aqui:
  • \mathbf{J} é o fluxo de massa (vetor) — quantidade de massa que atravessa uma área por unidade de tempo.
  • c é a concentração (massa por volume).
  • D é a difusividade mássica que queremos as dimensões.
    Explicando as unidades/dimensões de cada termo:
  • Fluxo de massa \mathbf{J}: massa por área por tempo. Em símbolos de dimensão (sistema \mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T}):
[\mathbf{J}] = \mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-2}\,\mathrm{t}^{-1}.
  • Concentração c: massa por volume:
[c] = \mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-3}.
  • O gradiente \nabla c é variação por comprimento, então tem dimensão
[\nabla c] = [c]\,\mathrm{L}^{-1} = \mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-4}.

Passo 3

Determinar a dimensão de D no sistema \mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T} por análise dimensional direta.
  • Da equação \mathbf{J} = -D\,\nabla c isolamos D:
[D] = \frac{[\mathbf{J}]}{[\nabla c]}.
  • Substituindo as dimensões que achamos:
[D] = \frac{\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-2}\,\mathrm{t}^{-1}}{\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-4}}.
  • Cancelei a massa \mathrm{M} e simplifiquei os fatores de \mathrm{L} e \mathrm{t}:
[D] = \mathrm{L}^{2}\,\mathrm{t}^{-1}.
  • Escrevendo com todas as bases do sistema \mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T} (incluindo expoentes zero para deixar explícito):
[D] = \mathrm{M}^{0}\,\mathrm{L}^{2}\,\mathrm{t}^{-1}\,\mathrm{T}^{0}.
Interpretação simples: difusividade tem dimensão de área por tempo (temporalmente é uma “área por segundo”).

Passo 4

Expressar a dimensão no sistema \mathrm{F}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T} (sistema baseado em força em vez de massa) e mostrar a conversão.
  • Relação entre força e massa (Lei de Newton) em dimensões:
[\mathrm{F}] = \mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{t}^{-2}\quad\Rightarrow\quad \mathrm{M} = \mathrm{F}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{t}^{2}.
  • Como a dimensão de D que obtivemos não contém \mathrm{M} (expoente zero), ao reescrever em termos de \mathrm{F},\mathrm{L},\mathrm{t},\mathrm{T} não aparece fator de \mathrm{F}. Logo:
[D] = \mathrm{F}^{0}\,\mathrm{L}^{2}\,\mathrm{t}^{-1}\,\mathrm{T}^{0},
ou simplesmente
[D] = \mathrm{L}^{2}\,\mathrm{t}^{-1}.
  • Conclusão: a forma da dimensão é a mesma numericamente porque \mathrm{M} cancela; a base diferente ( \mathrm{F} no lugar de \mathrm{M}) não altera o resultado final para esta grandeza.

Passo 5

Unidades no SI e no sistema inglês (explicando rapidamente por que).
  • A dimensão \mathrm{L}^{2}\,\mathrm{t}^{-1} corresponde a unidades de área divididas por tempo.
  • No SI a unidade de comprimento é o metro \mathrm{m} e de tempo o segundo \mathrm{s}. Portanto a unidade de D no SI é
\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • No sistema inglês (unidades usuais de engenharia) o comprimento é o pé \mathrm{ft} e o tempo é o segundo \mathrm{s}, então a unidade correspondente é
\mathrm{ft}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}.
Observação prática: também é comum ver \mathrm{cm}^{2}\,\mathrm{s}^{-1} em literatura de difusão (por exemplo \sim 10^{-9} a 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-1} dependendo do sistema e da temperatura), mas a resposta pedida foi SI e inglês.

Resposta

\mathrm{MLtT}:\\ \mathrm{M}^{0}\mathrm{L}^{2}\mathrm{t}^{-1}\mathrm{T}^{0} (simplificado: \mathrm{L}^{2}\mathrm{t}^{-1})
\mathrm{FLtT}:\\ \mathrm{F}^{0}\mathrm{L}^{2}\mathrm{t}^{-1}\mathrm{T}^{0} (simplificado: \mathrm{L}^{2}\mathrm{t}^{-1})
SI: \mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-1}
Inglês: \mathrm{ft}^{2}\mathrm{s}^{-1}

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