Para cada uma das quantidades listadas abaixo, indique as dimensões usando os sistemas MLtT e FLtT ( \mathrm{M}= massa, \mathrm{L}= comprimento, \mathrm{t}= tempo, \mathrm{T}= temperatura ). Também forneça as unidades no sistema SI e no sistema inglês:
taxa volumétrica

Passo 1

O enunciado pede: indicar as dimensões da “taxa volumétrica” usando os sistemas \mathrm{MLtT} e \mathrm{FLtT}, e fornecer as unidades no sistema SI e no sistema inglês. Informações relevantes dadas (explicitadas):
  • \mathrm{M} é massa,
  • \mathrm{L} é comprimento,
  • \mathrm{t} é tempo,
  • \mathrm{T} é temperatura,
  • no sistema alternativo \mathrm{F} representa força (substituindo \mathrm{M} na base),
  • a “taxa volumétrica” é o volume escoado por unidade de tempo (ou seja, volume dividido por tempo).

Passo 2

Definição matemática da grandeza: uma taxa volumétrica costuma ser notada por \dot{V} e definida por
\dot{V}=\frac{V}{\Delta t},
onde V é um volume e \Delta t é um intervalo de tempo. Aqui estou apenas deixando claro o que a grandeza representa antes de fazer a análise dimensional.

Passo 3

Dimensão do volume: o volume é uma medida de espaço tridimensional e tem dimensão de comprimento ao cubo. Em notação dimensional:
[V]=L^{3}.
Explicando com palavras: se comprimento mede-se em metros (\mathrm{m}), volume mede-se em metros cúbicos (\mathrm{m}^{3}).

Passo 4

Dimensão do tempo: o tempo tem dimensão \,t. Como a taxa volumétrica divide volume por tempo, a dimensão da taxa volumétrica é
[\dot{V}]=\frac{[V]}{[t]}=\frac{L^{3}}{t}=L^{3}t^{-1}.
Como não aparecem massa nem temperatura na definição, os expoentes de \mathrm{M} e \mathrm{T} são nulos (zero). Portanto, no sistema \mathrm{MLtT} a dimensão completa é
M^{0}L^{3}t^{-1}T^{0}.
Comentário amigo: isso significa “não depende de massa nem de temperatura, apenas de comprimento e tempo”.

Passo 5

Dimensão no sistema \mathrm{FLtT}: nesse sistema a base usa \mathrm{F} (força), \mathrm{L}, \mathrm{t} e \mathrm{T}. Como a taxa volumétrica não envolve força, o expoente de \mathrm{F} também é zero. Assim, em \mathrm{FLtT} a dimensão é
F^{0}L^{3}t^{-1}T^{0}.
Observação técnica: poderia converter entre \mathrm{M} e \mathrm{F} usando \,F=M L t^{-2}\,), mas como o expoente de \mathrm{M} é zero não há necessidade prática — o resultado permanece sem dependência de \mathrm{F}.

Passo 6

Unidades práticas:
  • No SI a unidade convencional é metro cúbico por segundo. Em TeX:
\text{SI: }\mathrm{m^{3}\,s^{-1}}.
  • No sistema inglês (imperial) uma unidade comum é pé cúbico por segundo. Em TeX:
\text{Inglês: }\mathrm{ft^{3}\,s^{-1}}.ê
Comentando: outra unidade muito usada em hidráulica é galões por minuto, por exemplo \mathrm{gal\,min^{-1}} (unidade inglesa comum), mas a forma direta equivalente ao SI é \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (opcional mas útil): se \dot{V}=2\,\mathrm{m^{3}\,s^{-1}}, isso significa que a cada segundo passam 2 metros cúbicos de fluido — a dimensão é L^{3}t^{-1} como mostrado.
Força e ânimo: você já entendeu a ideia central — volume sobre tempo dá L^{3}t^{-1}. Vai dar certo na prova, respira e segue em frente!

Resposta

MLtT: M^{0}L^{3}t^{-1}T^{0}
FLtT: F^{0}L^{3}t^{-1}T^{0}
SI: \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}
Inglês: \mathrm{ft^{3}\,s^{-1}}

Exercícios relacionados