EM CADA QUESTÃO ABAIXO APRESENTE TODOS OS CÁLOÚLOS E/OU RACIOCÍNIOS FEITOS, JUSTIFICANDO SUAS RESPOSTAS.
Resolva o sistema de equações diferenciais
Resolva o sistema de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais
e pede a resolução do sistema, ou seja, encontrar
e
gerais que satisfaçam essas equações.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não foram dadas condições iniciais, portanto buscaremos a solução geral com constantes arbitrárias.]
Passo 2
Vamos escrever o sistema na forma matricial para trabalhar de forma organizada. Definindo o vetor
o sistema pode ser escrito como
onde a matriz dos coeficientes é
Resolver o sistema equivale a encontrar a exponencial da matriz
ou achar uma base de soluções através dos autovalores e autovetores de
.]
Passo 3
Calculemos o polinômio característico de
. O polinômio característico é
Então
e
Desenvolvendo:
Multiplicando:
Somando o
:
Portanto o polinômio característico é
Passo 4
Identificamos as raízes do polinômio característico:
Logo há um autovalor real repetido:
com multiplicidade algébrica
.
Passo 5
Precisamos agora ver quantos autovetores independentes existem para
(multiplicidade geométrica). Resolveremos
.
Calcule
:
Resolvendo
, com
:
Isso dá as equações
As duas equações são equivalentes; da segunda obtemos
. Tomando
obtemos um autovetor
Como há apenas um autovetor independente, a multiplicidade geométrica é
, menor que a algébrica
. Portanto
não é diagonalizável e teremos que usar um autovetor e um autovetor generalizado (cadeia de Jordan) para formar a solução geral.]
Passo 6
Para o caso de autovalor repetido com um único autovetor usamos um autovetor generalizado
que satisfaz
onde
é o autovetor encontrado. Isso forma uma cadeia de Jordan de comprimento
.
Escrevemos
e resolvemos
As equações são
Note que a segunda é simplesmente a primeira dividida por
, então basta resolver uma delas. Da segunda:
Podemos escolher
conveniente; por simplicidade escolha
. Assim
Logo um autovetor generalizado é
(Observação: qualquer outra solução da forma
também serviria, mudando apenas as constantes na solução final.)]
Passo 7
Agora apresentamos a fórmula geral para o caso de autovalor repetido com cadeia de comprimento
. Se temos um autovalor
com autovetor
e autovetor generalizado
tal que
, então duas soluções fundamentais do sistema
são
Essas duas soluções são linearmente independentes e a combinação linear delas dá a solução geral.
No nosso caso
,
,
. Portanto duas soluções fundamentais são
Passo 8
A solução geral é combinação linear dessas duas soluções:
onde
e
são constantes arbitrárias. Substituindo:
Agrupando os termos dentro do parêntese obtemos
Passo 9
Desse vetor solução lemos as componentes
e
:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, se houvesse.
Passo 10
(Facultativo mas útil para confiança) Verificação rápida: podemos verificar que essas expressões satisfazem o sistema. Calculando
usando produto e regra da cadeia, e substituindo em
, as duas componentes coincidirão (é um cálculo direto mas um pouco longo); o procedimento usado (cadeia de Jordan) garante que a solução está correta.