EM CADA QUESTÃO ABAIXO APRESENTE TODOS OS CÁLOÚLOS E/OU RACIOCÍNIOS FEITOS, JUSTIFICANDO SUAS RESPOSTAS.
Resolva o sistema de, equações diferenciais
Resolva o sistema de, equações diferenciais
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais para duas funções desconhecidas
e
:
O que se pede: obter a solução geral do sistema, isto é, encontrar
e
que satisfaçam as duas equações para todo
. As constantes de integração serão constantes reais arbitrárias.]
Passo 2
Primeira observação útil: às vezes é mais fácil trabalhar com combinações lineares das variáveis (soma e diferença). Vamos calcular a derivada de
. Usamos a regra que diz que a derivada da soma é a soma das derivadas, e substituímos as expressões dadas para
e
:
Agora somamos termos semelhantes no lado direito:
Portanto temos a equação simples
Isto significa que a função
tem derivada zero, logo é constante. Chamemos essa constante de
:
onde
é uma constante real.
Passo 3
Agora consideramos a diferença
. Calculemos sua derivada usando novamente as equações originais:
Substituindo
e
obtemos
Como
, a equação fica
Então
satisfaz uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem, muito simples: derivada igual a
vezes a própria função.
Passo 4
Vamos resolver
. Esse tipo de equação tem solução exponencial. Pode-se resolver por separação de variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde
é uma constante de integração. Exponenciando:
onde
é uma constante real arbitrária (podemos permitir
também).
Passo 5
Agora já temos:
Resolvendo esse sistema de duas equações lineares para
e
(somando e subtraindo) obtemos:
soma: , portanto
soma:
subtração:
, portanto
Passo 6
Comentário sobre a escolha do método: escolhi usar soma e diferença porque o sistema é simétrico e essas combinações decouplam as equações de forma imediata (uma fica constante e a outra é uma equação exponencial simples). Essa via é mais rápida e menos trabalhosa do que calcular autovalores e autovetores da matriz de coeficientes, embora esse último método também funcione e dá o mesmo resultado.
Passo 7
Verificação (para você ganhar confiança): derivando as soluções encontradas temos
Calculando
com as fórmulas:
logo
e
, ou seja, as expressões satisfazem o sistema original. Tudo conferiu.