EM CADA QUESTÃO ABAIXO APRESENTE TODOS OS CÁLOÚLOS E/OU RACIOCÍNIOS FEITOS, JUSTIFICANDO SUAS RESPOSTAS.
Resolva o sistema de, equações diferenciais
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=x-y \\\ y^{\prime}=-x+y \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais para duas funções desconhecidas x(t) e y(t):
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=x-y \\[4pt] y^{\prime}=-x+y \end{array}\right.
O que se pede: obter a solução geral do sistema, isto é, encontrar x(t) e y(t) que satisfaçam as duas equações para todo t. As constantes de integração serão constantes reais arbitrárias.]

Passo 2

Primeira observação útil: às vezes é mais fácil trabalhar com combinações lineares das variáveis (soma e diferença). Vamos calcular a derivada de x+y. Usamos a regra que diz que a derivada da soma é a soma das derivadas, e substituímos as expressões dadas para x^{\prime} e y^{\prime}:
(x+y)^{\prime}=x^{\prime}+y^{\prime}=(x-y)+(-x+y).
Agora somamos termos semelhantes no lado direito:
(x-y)+(-x+y)=x-y-x+y=0.
Portanto temos a equação simples
(x+y)^{\prime}=0.
Isto significa que a função x+y tem derivada zero, logo é constante. Chamemos essa constante de C_{1}:
x+y=C_{1},
onde C_{1} é uma constante real.

Passo 3

Agora consideramos a diferença u(t)=x(t)-y(t). Calculemos sua derivada usando novamente as equações originais:
u^{\prime}=(x-y)^{\prime}=x^{\prime}-y^{\prime}.
Substituindo x^{\prime}=x-y e y^{\prime}=-x+y obtemos
u^{\prime}=(x-y)-(-x+y)=(x-y)+x-y=2x-2y=2(x-y).
Como u=x-y, a equação fica
u^{\prime}=2u.
Então u satisfaz uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem, muito simples: derivada igual a 2 vezes a própria função.

Passo 4

Vamos resolver u^{\prime}=2u. Esse tipo de equação tem solução exponencial. Pode-se resolver por separação de variáveis:
\frac{du}{dt}=2u \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{u}=2\,dt.
Integrando ambos os lados:
\int\frac{du}{u}=\int 2\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|u|=2t+C,
onde C é uma constante de integração. Exponenciando:
u(t)=C_{2}e^{2t},
onde C_{2}= \pm e^{C} é uma constante real arbitrária (podemos permitir C_{2}=0 também).

Passo 5

Agora já temos:
x+y=C_{1}\quad\text{e}\quad x-y=C_{2}e^{2t}.
Resolvendo esse sistema de duas equações lineares para x e y (somando e subtraindo) obtemos:
soma: (x+y) + (x-y) = 2x = C_{1}+C_{2}e^{2t}, portanto
x(t)=\frac{C_{1}+C_{2}e^{2t}}{2}.
subtração: (x+y) - (x-y) = 2y = C_{1}-C_{2}e^{2t}, portanto
y(t)=\frac{C_{1}-C_{2}e^{2t}}{2}.

Passo 6

Comentário sobre a escolha do método: escolhi usar soma e diferença porque o sistema é simétrico e essas combinações decouplam as equações de forma imediata (uma fica constante e a outra é uma equação exponencial simples). Essa via é mais rápida e menos trabalhosa do que calcular autovalores e autovetores da matriz de coeficientes, embora esse último método também funcione e dá o mesmo resultado.

Passo 7

Verificação (para você ganhar confiança): derivando as soluções encontradas temos
x^{\prime}(t)=\frac{C_{2}\,2e^{2t}}{2}=C_{2}e^{2t},\qquad y^{\prime}(t)=\frac{-C_{2}\,2e^{2t}}{2}=-C_{2}e^{2t}.
Calculando x-y com as fórmulas:
x-y=\frac{C_{1}+C_{2}e^{2t}}{2}-\frac{C_{1}-C_{2}e^{2t}}{2}=C_{2}e^{2t},
logo x^{\prime}=C_{2}e^{2t}=x-y e y^{\prime}=-C_{2}e^{2t}=-x+y, ou seja, as expressões satisfazem o sistema original. Tudo conferiu.

Resposta

x(t)=\frac{C_{1}+C_{2}e^{2t}}{2}
y(t)=\frac{C_{1}-C_{2}e^{2t}}{2}

Exercícios relacionados