Determinar uma solução particular das seguin. tes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=52 \cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma solução particular da equação diferencial
y''+y'-6y=52\cos 2x.
Informações dadas e objetivo:
  • A equação linear é de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é 52\cos 2x.
  • Queremos apenas uma solução particular y_p(x) que satisfaça a equação (não precisamos da solução geral aqui).

Passo 2

Escolha do método e por quê: como o termo do lado direito é uma combinação de funções trigonométricas (aqui só \cos 2x), o método mais direto é o método dos coeficientes indeterminados. Esse método consiste em supor uma forma para y_p parecida com o forçamento e ajustar constantes.
Antes de aplicar a suposição, verifico se há ressonância: calculo a equação característica da parte homogênea
\lambda^2+\lambda-6=0.
Resolvendo em linha:
\lambda^2+\lambda-6=(\lambda+3)(\lambda-2)=0,
logo \lambda=2 ou \lambda=-3. Essas raízes são reais, não têm parte imaginária \pm 2i, então não há ressonância com a frequência 2 do lado direito. Portanto a suposição padrão funciona: assumimos
y_p(x)=A\cos 2x + B\sin 2x,
onde A e B são constantes a determinar.
Explicação curta das derivadas que vamos usar: para k constante,
\frac{d}{dx}\big(\cos kx\big)=-k\sin kx,\qquad \frac{d}{dx}\big(\sin kx\big)=k\cos kx.

Passo 3

Calculo y_p' e y_p'' para a suposição y_p=A\cos 2x + B\sin 2x.
Usando as regras dadas:
y_p' = \frac{d}{dx}\big(A\cos 2x + B\sin 2x\big) = A(-2\sin 2x) + B(2\cos 2x) = -2A\sin 2x + 2B\cos 2x.
Derivando novamente:
y_p'' = \frac{d}{dx}\big(-2A\sin 2x + 2B\cos 2x\big) = -2A(2\cos 2x) + 2B(-2\sin 2x) = -4A\cos 2x -4B\sin 2x.

Passo 4

Substituo y_p, y_p' e y_p'' na equação esquerda y''+y'-6y e agrupo termos em \cos 2x e \sin 2x.
Escrevendo cada parcela:
y_p'' = -4A\cos 2x -4B\sin 2x,
y_p' = 2B\cos 2x -2A\sin 2x,
-6y_p = -6A\cos 2x -6B\sin 2x.
Somando:
y_p''+y_p'-6y_p = (-4A+2B-6A)\cos 2x +(-4B-2A-6B)\sin 2x.
Simplificando os coeficientes:
y_p''+y_p'-6y_p = (-10A+2B)\cos 2x +(-2A-10B)\sin 2x.
Esse resultado deve ser igual ao lado direito 52\cos 2x + 0\sin 2x. Igualando coeficientes obtém-se o sistema linear para A e B:
\begin{cases} -10A+2B=52,\\[4pt] -2A-10B=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvo o sistema passo a passo.
Da segunda equação
-2A-10B=0 \implies -2A=10B \implies A=-5B.
Substituo A=-5B na primeira equação:
-10(-5B)+2B=52 \implies 50B+2B=52 \implies 52B=52 \implies B=1.
Com B=1 vem
A=-5B=-5\cdot 1=-5.

Passo 6

Portanto uma solução particular é
y_p(x)=A\cos 2x + B\sin 2x = -5\cos 2x + \sin 2x.
Se quiser conferir rapidamente: substituindo esse y_p no operador y''+y'-6y produz 52\cos 2x, como exigido — já foi garantido pela solução do sistema de coeficientes.

Resposta

y_p(x) = -5\cos 2x + \sin 2x

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