Determinar uma solução particular das seguin. tes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma solução particular da equação diferencial
Informações dadas e objetivo:
- A equação linear é de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo é
. - Queremos apenas uma solução particular
que satisfaça a equação (não precisamos da solução geral aqui).
Passo 2
Escolha do método e por quê: como o termo do lado direito é uma combinação de funções trigonométricas (aqui só
), o método mais direto é o método dos coeficientes indeterminados. Esse método consiste em supor uma forma para
parecida com o forçamento e ajustar constantes.
Antes de aplicar a suposição, verifico se há ressonância: calculo a equação característica da parte homogênea
Resolvendo em linha:
logo
ou
. Essas raízes são reais, não têm parte imaginária
, então não há ressonância com a frequência
do lado direito. Portanto a suposição padrão funciona: assumimos
onde
e
são constantes a determinar.
Explicação curta das derivadas que vamos usar: para
constante,
Passo 3
Calculo
e
para a suposição
.
Usando as regras dadas:
Derivando novamente:
Passo 4
Substituo
,
e
na equação esquerda
e agrupo termos em
e
.
Escrevendo cada parcela:
Somando:
Simplificando os coeficientes:
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Igualando coeficientes obtém-se o sistema linear para
e
:
Passo 5
Resolvo o sistema passo a passo.
Da segunda equação
Substituo
na primeira equação:
Com
vem
Passo 6
Portanto uma solução particular é
Se quiser conferir rapidamente: substituindo esse
no operador
produz
, como exigido — já foi garantido pela solução do sistema de coeficientes.