Determinar uma solução particular das seguin. tes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma solução particular da equação diferencial
Informações dadas:
O que se pede: encontrar uma função
que satisfaça essa equação (ou seja, uma solução particular, não a solução geral).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicadinha e sem mistério).
Quando temos uma equação linear com coeficientes constantes e o termo à direita é uma função simples como seno ou cosseno, um método eficiente é o dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A ideia é supor uma forma para parecida com o lado direito e ajustar constantes para que a equação seja satisfeita.
Quando temos uma equação linear com coeficientes constantes e o termo à direita é uma função simples como seno ou cosseno, um método eficiente é o dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A ideia é supor uma forma para
Antes de escolher a forma do palpite, calculemos a solução da equação homogênea associada para verificar se há ressonância:
A equação característica é
portanto
Isto dá a solução homogênea
onde
e
são constantes. Observação importante: como
aparece na solução homogênea, o termo do lado direito
é ressonante — por isso o palpite padrão para
(uma combinação
) deve ser multiplicado por
.
Logo, escolhemos o palpite
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Calcule a primeira derivada de
. Use regra do produto:
. Seja
. Então
Portanto
Passo 4
Calcule a segunda derivada de
. Derivando
termo a termo:
derivada de é
.
Derivada de é
(novamente regra do produto).
derivada de
Derivada de
Somando:
Ou seja
Passo 5
Calcule
e iguale ao lado direito para determinar
e
.
Somando
com
obtemos
Repare que os termos com
se anulam:
Fica então
Queremos que isto seja igual a
, ou seja
Compare coeficientes de
e
:
para :
para :
para
para
Passo 6
Com
e
obtemos a solução particular:
Podemos, se quiseres checar rapidamente, derivar
e verificar que
— é exatamente o que fizemos ao determinar
e
.