Determinar uma solução particular das seguin. tes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+y=2 \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma solução particular da equação diferencial
y^{\prime\prime}+y=2\operatorname{sen}x
Informações dadas:
\text{equação: }y^{\prime\prime}+y=2\operatorname{sen}x.çã
O que se pede: encontrar uma função y_p(x) que satisfaça essa equação (ou seja, uma solução particular, não a solução geral).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicadinha e sem mistério).
Quando temos uma equação linear com coeficientes constantes e o termo à direita é uma função simples como seno ou cosseno, um método eficiente é o dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A ideia é supor uma forma para y_p parecida com o lado direito e ajustar constantes para que a equação seja satisfeita.
Antes de escolher a forma do palpite, calculemos a solução da equação homogênea associada para verificar se há ressonância:
y^{\prime\prime}+y=0.
A equação característica é
r^{2}+1=0,
portanto
r=\pm i.
Isto dá a solução homogênea
y_h(x)=C_1\cos x + C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes. Observação importante: como \sin x aparece na solução homogênea, o termo do lado direito 2\operatorname{sen}x é ressonante — por isso o palpite padrão para y_p (uma combinação A\cos x+B\sin x) deve ser multiplicado por x.
Logo, escolhemos o palpite
y_p(x)=x\big(A\cos x + B\sin x\big),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Calcule a primeira derivada de y_p. Use regra do produto: (x\cdot u(x))' = u(x) + x u'(x). Seja u(x)=A\cos x + B\sin x. Então
u'(x)=-A\sin x + B\cos x.
Portanto
y_p'(x)=u(x)+x u'(x)=A\cos x + B\sin x + x\big(-A\sin x + B\cos x\big).

Passo 4

Calcule a segunda derivada de y_p. Derivando y_p' termo a termo:
derivada de A\cos x + B\sin x é -A\sin x + B\cos x.
Derivada de x(-A\sin x + B\cos x) é -A\sin x + B\cos x + x(-A\cos x - B\sin x) (novamente regra do produto).
Somando:
y_p''(x)=\big(-A\sin x + B\cos x\big) + \big(-A\sin x + B\cos x\big) + x\big(-A\cos x - B\sin x\big).
Ou seja
y_p''(x)= -2A\sin x + 2B\cos x + x\big(-A\cos x - B\sin x\big).

Passo 5

Calcule y_p''+y_p e iguale ao lado direito para determinar A e B.
Somando y_p''(x) com y_p(x)=x(A\cos x + B\sin x) obtemos
y_p''+y_p = \big(-2A\sin x + 2B\cos x + x(-A\cos x - B\sin x)\big) + x(A\cos x + B\sin x).
Repare que os termos com x se anulam:
x(-A\cos x - B\sin x) + x(A\cos x + B\sin x)=0.
Fica então
y_p''+y_p = -2A\sin x + 2B\cos x.
Queremos que isto seja igual a 2\operatorname{sen}x, ou seja
-2A\sin x + 2B\cos x = 2\sin x.
Compare coeficientes de \sin x e \cos x:
para \sin x: -2A = 2 \Rightarrow A = -1.
para \cos x: 2B = 0 \Rightarrow B = 0.

Passo 6

Com A=-1 e B=0 obtemos a solução particular:
y_p(x)=x\big(A\cos x + B\sin x\big)=x(-1\cdot\cos x + 0)= -x\cos x.
Podemos, se quiseres checar rapidamente, derivar -x\cos x e verificar que y_p''+y_p=2\sin x — é exatamente o que fizemos ao determinar A e B.

Resposta

-x\cos x

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