Em cada questão, calcule pela definição a derivada de f(x) no ponto dado:
f(x)=cos (x), em x=8,65

Passo 1

O enunciado: calcular pela definição da derivada de f(x)=cos(x) no ponto x=8,65. Conteúdo: definição de derivada como limite do quociente incremental.

Passo 2

Pela definição temos:
f'(8,65)=limhto0f(8,65+h)-f(8,65)h
Vamos substituir f(x)=cos(x).

Passo 3

Substituindo, temos:
f'(8,65)=limhto0cos(8,65+h)-cos(8,65)h
Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica cos(a+h)-cos(a)=-2sinl(a+tfrach2r)sinl(tfrach2r).

Passo 4

Aplicando a identidade, obtemos:
f'(8,65)=limhto0-2sinl(8,65+tfrach2r)sinl(tfrach2r)h
Como h=2cdottfrach2, podemos escrever:
sin(tfrach2)h=sin(tfrach2)tfrach2cdot12.

Passo 5

O limite fica:
f'(8,65)=limhto0l[-2sinl(8,65+tfrach2r)r]cdotsin(tfrach2)tfrach2cdot12
Sabendo que limuto0sin(u)u=1 e que sin(8,65+tfrach2)tosin(8,65), seguimos para a conclusão.

Passo 6

Concluímos que:
f'(8,65)=-sin(8,65)
Opcionalmente, em valor aproximado, sin(8,65)approx0,7022, logo f'(8,65)approx-0,7022.

Resposta

-sin(8,65)approx -0,7022

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