Em cada uma das questões 12-13, são dadas as coordenadas de vetores u, v e w com relação a um sistema ortogonal de coordenadas, positivamente orientado. Calcule o volume do poliedro P que têm arestas A B, A C, A D tais que A B=u, A C=v, A D=w, nos seguintes casos:
P é um paralelepípedo, u=(3,4,2), v=(6,1,2) e w=(1,3,1),

Passo 1

O enunciado fornece três vetores u=(3,4,2), v=(6,1,2) e w=(1,3,1) e pede o volume do paralelepípedo gerado por eles. O conteúdo principal será o produto escalar triplo, que relaciona determinante de matriz 3times 3 ao volume.

Passo 2

O volume V de um paralelepípedo com arestas dados pelos vetores u, v e w é o valor absoluto do produto escalar triplo:
V = l|det[u,v,w]r| = l|ucdot(vtimesw)r|

Passo 3

Primeiro calculamos o produto vetorial vtimesw. Usando a definição via determinante:
vtimesw = i & j & k 6 & 1 & 2 1 & 3 & 1 = (-5,-4,17)

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar de u com vtimesw e tomamos o valor absoluto:
ucdot(vtimesw) = (3,4,2)cdot(-5,-4,17) = -15 -16 +34 = 3,
V = |3| = 3

Resposta

O volume do paralelepípedo é 3.

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