Exercício 15 (Retas e planos) Considere-se fixado um sistema ortonormal ( ) de coordenadas cartesianas. Considerem-se os pontos .
15.5 Considere-se a reta com representação paramétrica
Determinar a posição relativa entre a reta (Q) e o plano (A B C).
Passo 1
O enunciado dá a reta
e o plano , e .
Queremos saber se corta o plano, se é paralelo ou se está contido nele. Para isso, vamos achar um vetor normal ao plano e ver a relação dele com o vetor diretor de .
Passo 2
Calcular vetores no plano e o vetor normal por produto vetorial.
AB = B - A = (1,-1,-1), AC = C - A = (2,-5,-3)
Em seguida
n ;=;ABtimesAC =detimath&jmath&k1&-1&-12&-5&-3 =(-2,,1,,-3)
Como vcdotn=0, o vetor diretor de (Q) é ortogonal ao normal do plano, isto é, está contido no plano. Isso mostra que a reta é paralela ao plano ou está inteiramente dentro dele.
Passo 4
Para distinguir paralela de contida, basta verificar se algum ponto de (Q) satisfaz a equação do plano. Em q=0 temos o ponto
Q(0)=(-2,0,2)
Substituindo em 2x - y + 3z + 1 = 0:
2cdot(-2) - 0 + 3cdot2 + 1 = -4 + 6 + 1 = 3 neq 0
Logo Q(0) não pertence ao plano, e portanto a reta não está contida no plano.
Resposta
A reta (Q) é paralela ao plano (ABC) e não o intercepta.