Exercício 15 (Retas e planos) Considere-se fixado um sistema ortonormal ( O ; imath, jmath, k ) de coordenadas cartesianas. Considerem-se os pontos A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ;-1 ;-2), D(7 ;-1 ; 4).
15.5 Considere-se a reta (Q) com representação paramétrica
(Q):l x=-2-4 q y=q z=2+3 q (q in R)
Determinar a posição relativa entre a reta (Q) e o plano (A B C).

Passo 1

O enunciado dá a reta
e o plano , e .
Queremos saber se corta o plano, se é paralelo ou se está contido nele. Para isso, vamos achar um vetor normal ao plano e ver a relação dele com o vetor diretor de .

Passo 2

Calcular vetores no plano e o vetor normal por produto vetorial.
AB = B - A = (1,-1,-1), AC = C - A = (2,-5,-3)
Em seguida
n ;=;ABtimesAC =detimath&jmath&k1&-1&-12&-5&-3 =(-2,,1,,-3)
Logo uma equação do plano é
-2(x-0)+1(y-4)-3(z-1)=0 Longrightarrow 2x - y + 3z + 1 = 0

Passo 3

O vetor diretor de (Q) é
v=(-4,1,3).
Calculemos o produto escalar vcdotn:
vcdotn = (-4)cdot(-2) + 1cdot1 + 3cdot(-3) = 8 + 1 - 9 = 0
Como vcdotn=0, o vetor diretor de (Q) é ortogonal ao normal do plano, isto é, está contido no plano. Isso mostra que a reta é paralela ao plano ou está inteiramente dentro dele.

Passo 4

Para distinguir paralela de contida, basta verificar se algum ponto de (Q) satisfaz a equação do plano. Em q=0 temos o ponto
Q(0)=(-2,0,2)
Substituindo em 2x - y + 3z + 1 = 0:
2cdot(-2) - 0 + 3cdot2 + 1 = -4 + 6 + 1 = 3 neq 0
Logo Q(0) não pertence ao plano, e portanto a reta não está contida no plano.

Resposta

A reta (Q) é paralela ao plano (ABC) e não o intercepta.

Exercícios relacionados