Num sistema ortogonal e positivamente orientado, calcule o produto misto de u, v e w, sendo u=(1,2,3), v=(1,4,2) e w=(2,1,5).

Passo 1

O enunciado pede o produto misto (ou triplo escalar) de u, v e w num sistema ortogonal positivamente orientado, ou seja, queremos calcular
(utimesv)cdotw
Aqui o conteúdo é o produto vetorial em R^3 e o produto escalar.

Passo 2

Lembrando que o produto misto pode ser feito primeiro com o produto vetorial utimesv e depois com o produto escalar nesse resultado com w. Formalmente,
(utimesv)cdotw =ucdot(vtimesw) =vcdot(wtimesu),
mas vamos usar a primeira forma.

Passo 3

Calculamos utimesv pelo determinante
utimesv = i & j & k 1 & 2 & 3 1 & 4 & 2 =i(2cdot2-3cdot4)-j(1cdot2-3cdot1)+k(1cdot4-2cdot1)
Isso dá
utimesv =i(-8)-j(-1)+k(2) =(-8,,1,,2)

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar de (-8,1,2) com w=(2,1,5):
(utimesv)cdotw =(-8,1,2)cdot(2,1,5) =-8cdot2+1cdot1+2cdot5 =-16+1+10=-5

Resposta

O produto misto é -5.

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