Para cada uma das questões abaixo mencionadas, marque com X apenas a resposta correta. QUATRO OU MAIS RESPOSTAS ERRADAS ANULAM UMA RESPOSTA CERTA. Todas as perguntas têm a mesma cotação.
O comprimento da curva y=pi+2 x3 raizx, 0 <= x <= 15, é:
square 0 square 15 square raiz15 square 10 raiz15
square pi+10 raiz15 square 23 square 42 square+infty

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva y = pi + tfrac23xraizx no intervalo 0 <= x <= 15. Esse problema faz parte do conteúdo de comprimento de arco de funções, que usa a fórmula L = integrala^b raiz1 + l(y'(x)r)^2,dx.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y. Como y(x) = pi + tfrac23x^3/2, usando a regra do poder, temos y'(x) = tfrac23cdottfrac32x^1/2 = raizx.

Passo 3

Substituímos na fórmula do comprimento:
L = integral0^15 raiz1 + l(raizxr)^2,dx = integral0^15 raiz1 + x,dx .

Passo 4

Fazemos a mudança de variável u = x + 1. Quando x = 0, u = 1; quando x = 15, u = 16. Assim:
L = integral1^16 raizu,du .

Passo 5

A integral de raizu = u^1/2 é tfrac23u^3/2. Avaliando de 1 a 16:
L = 23u^3/2|1^16 = 23(64 - 1) = 42 .

Resposta

42

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