O comprimento da curva y=e^2 pi+23(x-1) raizx-1, com 1 <= x <= 4, é:
square 0 square 3 square 14 square x 143
square 2 raiz3 square e^2 pi+2 raiz3 square 42 square+infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o comprimento da curva definida por $ y = e^{2\pi} + \frac{2}{3}(x-1)\sqrt{x-1} $ no intervalo de $ x $ de 1 a 4. O conteúdo principal aqui é o cálculo do comprimento de uma curva, e para isso, vamos precisar usar a fórmula de integração que calcula o comprimento baseado na derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da curva para facilitar a derivação. A função dada é:
y = e^2pi + 23(x-1)raizx-1
Podemos reescrever $ \sqrt{x-1} $ como $ (x-1)^{1/2} $, então:
raizx-1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Vamos derivar termo a termo:
y

Passo 4

A fórmula para o comprimento da curva $ y = f(x) $ de $ x = a $ a $ x = b $ é:
y = f(x)
Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ que encontramos:
x = a

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Comprimento = integral1^4 raizx , dx
A integral de $ \sqrt{x} $ é:
raizx

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 1 a 4:
Comprimento = [ 23x^3/2 ]1^4 = 23(4)^3/2 - 23(1)^3/2
Calculando cada termo:
4^3/2 = ( raiz4 )^3 = 2^3 = 8
1^3/2 = 1
Então:
Comprimento = 23 times 8 - 23 times 1 = 163 - 23 = 143

Resposta

O comprimento da curva é $ \frac{14}{3} $.

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