O comprimento da curva
, com
, é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o comprimento da curva definida por $ y = e^{2\pi} + \frac{2}{3}(x-1)\sqrt{x-1} $ no intervalo de $ x $ de 1 a 4. O conteúdo principal aqui é o cálculo do comprimento de uma curva, e para isso, vamos precisar usar a fórmula de integração que calcula o comprimento baseado na derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da curva para facilitar a derivação. A função dada é:
Podemos reescrever $ \sqrt{x-1} $ como $ (x-1)^{1/2} $, então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Vamos derivar termo a termo:
Passo 4
A fórmula para o comprimento da curva $ y = f(x) $ de $ x = a $ a $ x = b $ é:
Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
A integral de $ \sqrt{x} $ é:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 1 a 4:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
O comprimento da curva é $ \frac{14}{3} $.